Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 29.3 Мордкович — Подробные Ответы
Установите, какие из данных выражений являются многочленами:
а) \( 3x^2 + 5y + \frac{7}{c} \)
б) \( \frac{a}{8} + \frac{b^6}{5} + \frac{c^4}{7} + \frac{d^3}{9} \)
в) \( 9x^3 — 4y^2 — 5 \)
г) \( \frac{10}{z^5} + \frac{2}{z^3} + \frac{5}{x^2} — \frac{11}{z} \)
a) \[3x^2 + 5y + \frac{7}{c}\]– не многочлен.
б)\[frac{a^8}{4} — \frac{b^6}{5} + \frac{c^4}{7} + \frac{d^3}{9}\] – многочлен.
в) \[9x^3 — 4y^2 — 5 \]– многочлен.
г)\[frac{10}{z^5} + \frac{2}{z^3} + \frac{5}{z^2} — \frac{11}{z}\] – не многочлен.
Определение многочлена: многочленом называется алгебраическое выражение, представляющее собой сумму одночленов, в которых переменные возводятся только в целые неотрицательные степени (0, 1, 2, 3, …), а коэффициенты являются числами. Переменные не могут находиться в знаменателе, под корнем или в показателе степени.
Рассмотрим каждое выражение по отдельности.
\[
\text{а) } 3x^{2} + 5y + \frac{7}{c}
\]
Преобразуем последнее слагаемое:
\[
\frac{7}{c} = 7c^{-1}
\]
Анализируем показатели степеней переменных:
\[
3x^{2}: \text{ степень } x = 2 \text{ (целое неотрицательное)}
\]
\[
5y: \text{ степень } y = 1 \text{ (целое неотрицательное)}
\]
\[
7c^{-1}: \text{ степень } c = -1 \text{ (отрицательное число)}
\]
Переменная c имеет отрицательный показатель степени, что эквивалентно её нахождению в знаменателе. Это нарушает определение многочлена.
Вывод: выражение не является многочленом.
\[
\text{б) } \frac{a^{8}}{4} — \frac{b^{6}}{5} + \frac{c^{4}}{7} + \frac{d^{3}}{9}
\]
Представим каждое слагаемое в стандартном виде одночлена:
\[
\frac{a^{8}}{4} = \frac{1}{4}a^{8}
\]
\[
-\frac{b^{6}}{5} = -\frac{1}{5}b^{6}
\]
\[
\frac{c^{4}}{7} = \frac{1}{7}c^{4}
\]
\[
\frac{d^{3}}{9} = \frac{1}{9}d^{3}
\]
Анализируем коэффициенты и показатели степеней:
\[
\frac{1}{4}, -\frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{1}{9} \text{ – все являются числовыми коэффициентами}
\]
\[
\text{Показатели степеней: } 8, 6, 4, 3 \text{ – все целые неотрицательные числа}
\]
Знаменатели содержат только числа, переменные находятся только в числителе со степенями $\geq 0$.
Вывод: выражение является многочленом.
\[
\text{в) } 9x^{3} — 4y^{2} — 5
\]
Анализируем каждое слагаемое:
\[
9x^{3}: \text{ коэффициент } 9, \text{ степень } x = 3 \text{ (целое неотрицательное)}
\]
\[
-4y^{2}: \text{ коэффициент } -4, \text{ степень } y = 2 \text{ (целое неотрицательное)}
\]
\[
-5: \text{ свободный член, эквивалентен } -5x^{0}y^{0}, \text{ степень } = 0 \text{ (целое неотрицательное)}
\]
Все коэффициенты – числа, все показатели степеней – целые неотрицательные.
Вывод: выражение является многочленом.
\[
\text{г) } \frac{10}{z^{5}} + \frac{2}{z^{3}} + \frac{5}{z^{2}} — \frac{11}{z}
\]
Преобразуем каждое слагаемое, используя отрицательные степени:
\[
\frac{10}{z^{5}} = 10z^{-5}
\]
\[
\frac{2}{z^{3}} = 2z^{-3}
\]
\[
\frac{5}{z^{2}} = 5z^{-2}
\]
\[
-\frac{11}{z} = -11z^{-1}
\]
Анализируем показатели степеней переменной z:
\[
-5, -3, -2, -1 \text{ – все отрицательные числа}
\]
Все слагаемые содержат переменную z с отрицательными показателями степени, что означает нахождение переменной в знаменателе. Это нарушает определение многочлена.
Вывод: выражение не является многочленом.
Итоговые ответы:
а) не многочлен (переменная c в знаменателе, отрицательная степень -1)
б) многочлен (все коэффициенты числовые, все показатели степеней целые неотрицательные)
в) многочлен (все коэффициенты числовые, все показатели степеней целые неотрицательные)
г) не многочлен (переменная z в знаменателе со степенями -5, -3, -2, -1)
