Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 30.10 Мордкович — Подробные Ответы
Даны три многочлена:
\( p_1(x;\,y) = 27x^3 — 27x^2y + 9xy^2 — y^3 \),
\( p_2(x;\,y) = 20x^3 — 15x^2y + 4xy^2 -3y^3 \),
\( p_3(x;\,y) = 10x^3 + 12x^2y — 5xy^2 + y^3 \).
Найдите:
а) \( p(x;\,y) = p_1(x;\,y) + p_2(x;\,y) + p_3(x;\,y) \);
б) \( p(x;\,y) = p_1(x;\,y) — p_2(x;\,y) + p_3(x;\,y) \);
в) \( p(x;\,y) = p_1(x;\,y) + p_2(x;\,y) — p_3(x;\,y) \);
г) \( p(x;\,y) = p_1(x;\,y) — p_2(x;\,y) — p_3(x;\,y) \).
\(p_1(x; y) = 27x^3 — 27x^2y + 9xy^2 — y^3,\)
\(p_2(x; y) = 20x^3 — 15x^2y + 4xy^2 — 3y^3,\)
\(p_3(x; y) = 10x^3 + 12x^2y — 5xy^2 + y^3.\)
а) \(p(x; y) = p_1(x; y) + p_2(x; y) + p_3(x; y)\)
\(p(x; y) = 27x^3 — 27x^2y + 9xy^2 — y^3 + 20x^3 — 15x^2y + 4xy^2 — 3y^3\)
\(+ 10x^3 + 12x^2y — 5xy^2 + y^3 = 57x^3 — 30x^2y + 8xy^2 — 3y^3.\)
б) \(p(x; y) = p_1(x; y) — p_2(x; y) + p_3(x; y)\)
\(p(x; y) = 27x^3 — 27x^2y + 9xy^2 — y^3 — 20x^3 + 15x^2y — 4xy^2 + 3y^3\)
\(+ 10x^3 + 12x^2y — 5xy^2 + y^3 = 17x^3 + 3y^3.\)
в) \(p(x; y) = p_1(x; y) + p_2(x; y) — p_3(x; y)\)
\(p(x; y) = 27x^3 — 27x^2y + 9xy^2 — y^3 + 20x^3 — 15x^2y + 4xy^2 — 3y^3 — 10x^3\)
\(- 12x^2y + 5xy^2 — y^3 = 37x^3 — 54x^2y + 18xy^2 — 5y^3.\)
г) \(p(x; y) = p_1(x; y) — p_2(x; y) — p_3(x; y)\)
\(p(x; y) = 27x^3 — 27x^2y + 9xy^2 — y^3 — 20x^3 + 15x^2y — 4xy^2 + 3y^3\)
\(- 10x^3 — 12x^2y + 5xy^2 — y^3 = -3x^3 — 24x^2y + 10xy^2 + y^3.\)
Исходные данные
У нас есть три полинома двух переменных:
\[
p_1(x; y) = 27x^3 — 27x^2y + 9xy^2 — y^3
\]
\[
p_2(x; y) = 20x^3 — 15x^2y + 4xy^2 — 3y^3
\]
\[
p_3(x; y) = 10x^3 + 12x^2y — 5xy^2 + y^3
\]
Теперь мы выполним различные операции с этими полиномами.
а) Сложение полиномов
Начнем с операции сложения:
\[
p(x; y) = p_1(x; y) + p_2(x; y) + p_3(x; y)
\]
Шаг 1: Запись полиномов
Подставим значения полиномов:
\[
p(x; y) = (27x^3 — 27x^2y + 9xy^2 — y^3) + (20x^3 — 15x^2y + 4xy^2 — 3y^3)
\]
\[
+ (10x^3 + 12x^2y — 5xy^2 + y^3)
\]
Шаг 2: Объединение слагаемых
Теперь объединим подобные слагаемые, группируя их по степеням \(x\) и \(y\):
— Степень \(x^3\):
— \(27x^3 + 20x^3 + 10x^3 = 57x^3\)
— Степень \(x^2y\):
— \(-27x^2y — 15x^2y + 12x^2y = -30x^2y\)
— Степень \(xy^2\):
— \(9xy^2 + 4xy^2 — 5xy^2 = 8xy^2\)
— Степень \(y^3\):
— \(-y^3 — 3y^3 + y^3 = -3y^3\)
Шаг 3: Запись результата
Таким образом, результат сложения будет равен:
\[
p(x; y) = 57x^3 — 30x^2y + 8xy^2 — 3y^3
\]
Заключение для части а)
Итак, для первой части мы получили:
\[
p(x; y) = 57x^3 — 30x^2y + 8xy^2 — 3y^3
\]
б) Вычитание полиномов
Теперь выполним операцию вычитания:
\[
p(x; y) = p_1(x; y) — p_2(x; y) + p_3(x; y)
\]
Шаг 1: Запись полиномов
Подставим значения полиномов:
\[
p(x; y) = (27x^3 — 27x^2y + 9xy^2 — y^3) — (20x^3 — 15x^2y + 4xy^2 — 3y^3)
\]
\[
+ (10x^3 + 12x^2y — 5xy^2 + y^3)
\]
Шаг 2: Раскрытие скобок
Раскроем скобки и изменим знаки:
\[
= 27x^3 — 27x^2y + 9xy^2 — y^3 — 20x^3 + 15x^2y — 4xy^2 +
\]
\[
+ 3y^3 + 10x^3 + 12x^2y — 5xy^2 + y^3
\]
Шаг 3: Объединение слагаемых
Теперь объединим подобные слагаемые:
— Степень \(x^3\):
— \(27x^3 — 20x^3 + 10x^3 = 17x^3\)
— Степень \(x^2y\):
— \(-27x^2y + 15x^2y + 12x^2y = 0\)
— Степень \(xy^2\):
— \(9xy^2 — 4xy^2 — 5xy^2 = 0\)
— Степень \(y^3\):
— \(-y^3 + 3y^3 + y^3 = 3y^3\)
Шаг 4: Запись результата
Таким образом, результат вычитания будет равен:
\[
p(x; y) = 17x^3 + 3y^3
\]
Заключение для части б)
Итак, для второй части мы получили:
\[
p(x; y) = 17x^3 + 3y^3
\]
в) Смешанная операция
Теперь выполним операцию:
\[
p(x; y) = p_1(x; y) + p_2(x; y) — p_3(x; y)
\]
Шаг 1: Запись полиномов
Подставим значения полиномов:
\[
p(x; y) = (27x^3 — 27x^2y + 9xy^2 — y^3) + (20x^3 — 15x^2y + 4xy^2 — 3y^3)
\]
\[
— (10x^3 + 12x^2y — 5xy^2 + y^3)
\]
Шаг 2: Раскрытие скобок
Раскроем скобки и изменим знаки:
\[
= 27x^3 — 27x^2y + 9xy^2 — y^3 + 20x^3 — 15x^2y +
\]
\[
+ 4xy^2 — 3y^3 — 10x^3 — 12x^2y + 5xy^2 — y^3
\]
Шаг 3: Объединение слагаемых
Теперь объединим подобные слагаемые:
— Степень \(x^3\):
— \(27x^3 + 20x^3 — 10x^3 = 37x^3\)
— Степень \(x^2y\):
— \(-27x^2y — 15x^2y — 12x^2y = -54x^2y\)
— Степень \(xy^2\):
— \(9xy^2 + 4xy^2 + 5xy^2 = 18xy^2\)
— Степень \(y^3\):
— \(-y^3 — 3y^3 — y^3 = -5y^3\)
Шаг 4: Запись результата
Таким образом, результат смешанной операции будет равен:
\[
p(x; y) = 37x^3 — 54x^2y + 18xy^2 — 5y^3
\]
Заключение для части в)
Итак, для третьей части мы получили:
\[
p(x; y) = 37x^3 — 54x^2y + 18xy^2 — 5y^3
\]
г) Другая смешанная операция
Теперь выполним операцию:
\[
p(x; y) = p_1(x; y) — p_2(x; y) — p_3(x; y)
\]
Шаг 1: Запись полиномов
Подставим значения полиномов:
\[
p(x; y) = (27x^3 — 27x^2y + 9xy^2 — y^3) — (20x^3 — 15x^2y + 4xy^2 — 3y^3)
\]
\[
— (10x^3 + 12x^2y — 5xy^2 + y^3)
\]
Шаг 2: Раскрытие скобок
Раскроем скобки и изменим знаки:
\[
= 27x^3 — 27x^2y + 9xy^2 — y^3 — 20x^3 + 15x^2y — 4xy^2
\]
\[
+ 3y^3 — 10x^3 — 12x^2y + 5xy^2 — y^3
\]
Шаг 3: Объединение слагаемых
Теперь объединим подобные слагаемые:
— Степень \(x^3\):
— \(27x^3 — 20x^3 — 10x^3 = -3x^3\)
— Степень \(x^2y\):
— \(-27x^2y + 15x^2y — 12x^2y = -24x^2y\)
— Степень \(xy^2\):
— \(9xy^2 — 4xy^2 + 5xy^2 = 10xy^2\)
— Степень \(y^3\):
— \(-y^3 + 3y^3 — y^3 = y^3\)
Шаг 4: Запись результата
Таким образом, результат будет равен:
\[
p(x; y) = -3x^3 — 24x^2y + 10xy^2 + y^3
\]
Заключение для части г)
Итак, для четвертой части мы получили:
\[
p(x; y) = -3x^3 — 24x^2y + 10xy^2 + y^3
\]
