Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 30.9 Мордкович — Подробные Ответы
Даны три многочлена:
\( p_1(a) = 2a^8 + 3a^2 — a + 1 \),
\( p_2(a) = 4a^4 + 6a^3 — 2a^2 + 2a \),
\( p_3(a) = 2a^5 + 3a^4 — a^3 + a^2 \).
Найдите:
а) \( p(a) = p_1(a) + p_2(a) + p_3(a) \);
б) \( p(a) = p_1(a) — p_2(a) + p_3(a) \);
в) \( p(a) = p_1(a) + p_2(a) — p_3(a) \);
г) \( p(a) = p_1(a) — p_2(a) — p_3(a) \).
\(p_1(a) = 2a^3 + 3a^2 — a + 1,\quad p_2(a) = 4a^4 + 6a^3 — 2a^2 + 2a,\)
\(\quad p_3(a) = 2a^5 + 3a^4 — a^3 + a^2\)
а) \(p(a) = p_1(a) + p_2(a) + p_3(a)\)
\(p(a) = 2a^3 + 3a^2 — a + 1 + 4a^4 + 6a^3 — 2a^2 + 2a + 2a^5 +\)
\(3a^4 — a^3 + a^2 = 2a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 2a^2 + a + 1.\)
б) \(p(a) = p_1(a) — p_2(a) + p_3(a)\)
\(p(a) = 2a^3 + 3a^2 — a + 1 — 4a^4 — 6a^3 + 2a^2 — 2a + 2a^5 +\)
\(3a^4 — a^3 + a^2 = 2a^5 — a^4 — 5a^3 + 6a^2 — 3a + 1.\)
в) \(p(a) = p_1(a) + p_2(a) — p_3(a)\)
\(p(a) = 2a^3 + 3a^2 — a + 1 + 4a^4 + 6a^3 — 2a^2 + 2a — 2a^5 — 3a^4\)
\(+ a^3 — a^2 = -2a^5 + a^4 + 9a^3 + a + 1.\)
г) \(p(a) = p_1(a) — p_2(a) — p_3(a)\)
\(p(a) = 2a^3 + 3a^2 — a + 1 — 4a^4 — 6a^3 + 2a^2 — 2a — 2a^5 — 3a^4\)
\(+ a^3 — a^2 = -2a^5 — 7a^4 — 3a^3 + 4a^2 — 3a + 1.\)
Исходные данные
У нас есть три полинома:
\[
p_1(a) = 2a^3 + 3a^2 — a + 1
\]
\[
p_2(a) = 4a^4 + 6a^3 — 2a^2 + 2a
\]
\[
p_3(a) = 2a^5 + 3a^4 — a^3 + a^2
\]
Теперь мы выполним различные операции с этими полиномами.
а) Сложение полиномов
Мы начинаем с операции сложения:
\[
p(a) = p_1(a) + p_2(a) + p_3(a)
\]
Шаг 1: Запись полиномов
Подставим значения полиномов:
\[
p(a) = (2a^3 + 3a^2 — a + 1) + (4a^4 + 6a^3 — 2a^2 + 2a)
\]
\[
+ (2a^5 + 3a^4 — a^3 + a^2)
\]
Шаг 2: Объединение слагаемых
Теперь объединим подобные слагаемые, группируя их по степеням \(a\):
— Степень \(a^5\):
— \(2a^5\)
— Степень \(a^4\):
— \(4a^4 + 3a^4 = 7a^4\)
— Степень \(a^3\):
— \(2a^3 + 6a^3 — a^3 = 7a^3\)
— Степень \(a^2\):
— \(3a^2 — 2a^2 + a^2 = 2a^2\)
— Степень \(a^1\):
— \(-a + 2a = a\)
— Константа:
— \(1\)
Шаг 3: Запись результата
Таким образом, результат сложения будет равен:
\[
p(a) = 2a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 2a^2 + a + 1
\]
Заключение для части а)
Итак, для первой части мы получили:
\[
p(a) = 2a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 2a^2 + a + 1
\]
б) Вычитание полиномов
Теперь выполним операцию вычитания:
\[
p(a) = p_1(a) — p_2(a) + p_3(a)
\]
Шаг 1: Запись полиномов
Подставим значения полиномов:
\[
p(a) = (2a^3 + 3a^2 — a + 1) — (4a^4 + 6a^3 — 2a^2 + 2a)
\]
\[
+ (2a^5 + 3a^4 — a^3 + a^2)
\]
Шаг 2: Раскрытие скобок
Раскроем скобки и изменим знаки:
\[
= 2a^3 + 3a^2 — a + 1 — 4a^4 — 6a^3 + 2a^2 — 2a + 2a^5 + 3a^4 — a^3 + a^2
\]
Шаг 3: Объединение слагаемых
Теперь объединим подобные слагаемые:
— Степень \(a^5\):
— \(2a^5\)
— Степень \(a^4\):
— \(-4a^4 + 3a^4 = -a^4\)
— Степень \(a^3\):
— \(2a^3 — 6a^3 — a^3 = -5a^3\)
— Степень \(a^2\):
— \(3a^2 + 2a^2 + a^2 = 6a^2\)
— Степень \(a^1\):
— \(-a — 2a = -3a\)
— Константа:
— \(1\)
Шаг 4: Запись результата
Таким образом, результат вычитания будет равен:
\[
p(a) = 2a^5 — a^4 — 5a^3 + 6a^2 — 3a + 1
\]
Заключение для части б)
Итак, для второй части мы получили:
\[
p(a) = 2a^5 — a^4 — 5a^3 + 6a^2 — 3a + 1
\]
в) Смешанная операция
Теперь выполним операцию:
\[
p(a) = p_1(a) + p_2(a) — p_3(a)
\]
Шаг 1: Запись полиномов
Подставим значения полиномов:
\[
p(a) = (2a^3 + 3a^2 — a + 1) + (4a^4 + 6a^3 — 2a^2 + 2a) —
\]
\[
— (2a^5 + 3a^4 — a^3 + a^2)
\]
Шаг 2: Раскрытие скобок
Раскроем скобки и изменим знаки:
\[
= 2a^3 + 3a^2 — a + 1 + 4a^4 + 6a^3 — 2a^2 + 2a — 2a^5 — 3a^4 + a^3 — a^2
\]
Шаг 3: Объединение слагаемых
Теперь объединим подобные слагаемые:
— Степень \(a^5\):
— \(-2a^5\)
— Степень \(a^4\):
— \(4a^4 — 3a^4 = a^4\)
— Степень \(a^3\):
— \(2a^3 + 6a^3 + a^3 = 9a^3\)
— Степень \(a^2\):
— \(3a^2 — 2a^2 — a^2 = 0\)
— Степень \(a^1\):
— \(-a + 2a = a\)
— Константа:
— \(1\)
Шаг 4: Запись результата
Таким образом, результат смешанной операции будет равен:
\[
p(a) = -2a^5 + a^4 + 9a^3 + a + 1
\]
Заключение для части в)
Итак, для третьей части мы получили:
\[
p(a) = -2a^5 + a^4 + 9a^3 + a + 1
\]
г) Другая смешанная операция
Теперь выполним операцию:
\[
p(a) = p_1(a) — p_2(a) — p_3(a)
\]
Шаг 1: Запись полиномов
Подставим значения полиномов:
\[
p(a) = (2a^3 + 3a^2 — a + 1) — (4a^4 + 6a^3 — 2a^2 + 2a)
\]
\[
— (2a^5 + 3a^4 — a^3 + a^2)
\]
Шаг 2: Раскрытие скобок
Раскроем скобки и изменим знаки:
\[
= 2a^3 + 3a^2 — a + 1 — 4a^4 — 6a^3 + 2a^2 — 2a — 2a^5 — 3a^4 + a^3 — a^2
\]
Шаг 3: Объединение слагаемых
Теперь объединим подобные слагаемые:
— Степень \(a^5\):
— \(-2a^5\)
— Степень \(a^4\):
— \(-4a^4 — 3a^4 = -7a^4\)
— Степень \(a^3\):
— \(2a^3 — 6a^3 + a^3 = -3a^3\)
— Степень \(a^2\):
— \(3a^2 + 2a^2 — a^2 = 4a^2\)
— Степень \(a^1\):
— \(-a — 2a = -3a\)
— Константа:
— \(1\)
Шаг 4: Запись результата
Таким образом, результат будет равен:
\[
p(a) = -2a^5 — 7a^4 — 3a^3 + 4a^2 — 3a + 1
\]
Заключение для части г)
Итак, для четвертой части мы получили:
\[
p(a) = -2a^5 — 7a^4 — 3a^3 + 4a^2 — 3a + 1
\]
