Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 32.20 Мордкович — Подробные Ответы
Найдите произведение многочленов \( P_1 \cdot P_2 \), если:
а) \( P_1(a) = a^2 + a — 1 \), \quad \( P_2(a) = a^2 — a + 1 \);
б) \( P_1(m) = m^2 + 2m — 1 \), \quad \( P_2(m) = m^2 — 2m + 1 \);
в) \( P_1(x) = 2x^2 + 3x + 2 \), \quad \( P_2(x) = -2x^2 + 3x — 2 \);
г) \( P_1(b) = b^3 + 5b + 3 \), \quad \( P_2(b) = -b^3 — 5b + 3 \).
а) \((a^2 + a — 1)(a^2 — a + 1) = a^4 — a^3 + a^2\)
\(+ a^3 — a^2 + a — a^2 + a — 1 =\)
\(= a^4 — a^2 + 2a — 1.\)
б) \((m^2 + 2m — 1)(m^2 — 2m + 1) = m^4 — 2m^3 +\)
\(m^2 + 2m^3 — 4m^2 + 2m — m^2 + 2m — 1 =\)
\(= m^4 — 4m^2 + 4m — 1.\)
в) \((2x^2 + 3x + 2)(-2x^2 + 3x — 2) = -4x^4 + 6x^3 -\)
\(4x^2 — 6x^3 + 9x^2 — 6x — 4x^2 + 6x — 4 =\)
\(= -4x^4 + x^2 — 4.\)
г) \((b^3 + 5b + 3)(-b^3 — 5b + 3) = -b^6 — 5b^4 + 3b^3 -\)
\(5b^4 — 25b^2 + 15b — 3b^3 — 15b + 9 =\)
\(= -b^6 — 10b^4 — 25b^2 + 9.\)
а) Упрощение выражения
Исходное выражение:
\[
(a^2 + a — 1)(a^2 — a + 1)
\]
Шаг 1: Распределение
Применим распределительное свойство:
\[
= a^2(a^2 — a + 1) + a(a^2 — a + 1) — 1(a^2 — a + 1)
\]
Шаг 2: Умножение
Теперь умножим:
1. \(a^2(a^2) = a^4\)
2. \(a^2(-a) = -a^3\)
3. \(a^2(1) = a^2\)
4. \(a(a^2) = a^3\)
5. \(a(-a) = -a^2\)
6. \(a(1) = a\)
7. \(-1(a^2) = -a^2\)
8. \(-1(-a) = a\)
9. \(-1(1) = -1\)
Шаг 3: Объединение результатов
Теперь соберем все полученные слагаемые:
\[
a^4 — a^3 + a^2 + a^3 — a^2 + a — a^2 + a — 1
\]
Шаг 4: Упрощение
Объединим подобные слагаемые:
\[
= a^4 + (-a^3 + a^3) + (a^2 — a^2 — a^2) + (a + a) — 1
\]
Это упрощается до:
\[
= a^4 — a^2 + 2a — 1
\]
Заключение для части а)
Таким образом, уравнение:
\[
(a^2 + a — 1)(a^2 — a + 1) = a^4 — a^2 + 2a — 1
\]
б) Упрощение выражения
Исходное выражение:
\[
(m^2 + 2m — 1)(m^2 — 2m + 1)
\]
Шаг 1: Распределение
Применим распределительное свойство:
\[
= m^2(m^2 — 2m + 1) + 2m(m^2 — 2m + 1) — 1(m^2 — 2m + 1)
\]
Шаг 2: Умножение
Теперь умножим:
1. \(m^2(m^2) = m^4\)
2. \(m^2(-2m) = -2m^3\)
3. \(m^2(1) = m^2\)
4. \(2m(m^2) = 2m^3\)
5. \(2m(-2m) = -4m^2\)
6. \(2m(1) = 2m\)
7. \(-1(m^2) = -m^2\)
8. \(-1(-2m) = 2m\)
9. \(-1(1) = -1\)
Шаг 3: Объединение результатов
Теперь соберем все полученные слагаемые:
\[
m^4 — 2m^3 + m^2 + 2m^3 — 4m^2 + 2m — m^2 + 2m — 1
\]
Шаг 4: Упрощение
Объединим подобные слагаемые:
\[
= m^4 + (-2m^3 + 2m^3) + (m^2 — 4m^2 — m^2) + (2m + 2m) — 1
\]
Это упрощается до:
\[
= m^4 — 4m^2 + 4m — 1
\]
Заключение для части б)
Таким образом, уравнение:
\[
(m^2 + 2m — 1)(m^2 — 2m + 1) = m^4 — 4m^2 + 4m — 1
\]
в) Упрощение выражения
Исходное выражение:
\[
(2x^2 + 3x + 2)(-2x^2 + 3x — 2)
\]
Шаг 1: Распределение
Применим распределительное свойство:
\[
= 2x^2(-2x^2 + 3x — 2) + 3x(-2x^2 + 3x — 2) + 2(-2x^2 + 3x — 2)
\]
Шаг 2: Умножение
Теперь умножим:
1. \(2x^2(-2x^2) = -4x^4\)
2. \(2x^2(3x) = 6x^3\)
3. \(2x^2(-2) = -4x^2\)
4. \(3x(-2x^2) = -6x^3\)
5. \(3x(3x) = 9x^2\)
6. \(3x(-2) = -6x\)
7. \(2(-2x^2) = -4x^2\)
8. \(2(3x) = 6x\)
9. \(2(-2) = -4\)
Шаг 3: Объединение результатов
Теперь соберем все полученные слагаемые:
\[
-4x^4 + 6x^3 — 4x^2 — 6x^3 + 9x^2 — 6x — 4x^2 + 6x — 4
\]
Шаг 4: Упрощение
Объединим подобные слагаемые:
\[
= -4x^4 + (6x^3 — 6x^3) + (-4x^2 + 9x^2 — 4x^2) + (-6x + 6x) — 4
\]
Это упрощается до:
\[
= -4x^4 + x^2 — 4
\]
Заключение для части в)
Таким образом, уравнение:
\[
(2x^2 + 3x + 2)(-2x^2 + 3x — 2) = -4x^4 + x^2 — 4
\]
г) Упрощение выражения
Исходное выражение:
\[
(b^3 + 5b + 3)(-b^3 — 5b + 3)
\]
Шаг 1: Распределение
Применим распределительное свойство:
\[
= b^3(-b^3 — 5b + 3) + 5b(-b^3 — 5b + 3) + 3(-b^3 — 5b + 3)
\]
Шаг 2: Умножение
Теперь умножим:
1. \(b^3(-b^3) = -b^6\)
2. \(b^3(-5b) = -5b^4\)
3. \(b^3(3) = 3b^3\)
4. \(5b(-b^3) = -5b^4\)
5. \(5b(-5b) = -25b^2\)
6. \(5b(3) = 15b\)
7. \(3(-b^3) = -3b^3\)
8. \(3(-5b) = -15b\)
9. \(3(3) = 9\)
Шаг 3: Объединение результатов
Теперь соберем все полученные слагаемые:
\[
-b^6 — 5b^4 + 3b^3 — 5b^4 — 25b^2 + 15b — 3b^3 — 15b + 9
\]
Шаг 4: Упрощение
Объединим подобные слагаемые:
\[
= -b^6 + (-5b^4 — 5b^4) + (3b^3 — 3b^3) — 25b^2 + (15b — 15b) + 9
\]
Это упрощается до:
\[
= -b^6 — 10b^4 — 25b^2 + 9
\]
Заключение для части г)
Таким образом, уравнение:
\[
(b^3 + 5b + 3)(-b^3 — 5b + 3) = -b^6 — 10b^4 — 25b^2 + 9
\]
