Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 32.21 Мордкович — Подробные Ответы
Преобразуйте произведение выражений в многочлен стандартного вида:
а) \( (m — 1)(m^3 + m^2 + m + 1); \)
б) \( (2 — s)(16 + 8s + 4s^2 + 2s^3 + s^4); \)
в) \( (x + y)(x^3 — x^2y + xy^2 — y^3); \)
г) \( (a + 3)(81 — 27a + 9a^2 — 3a^3 + a^4). \)
а) \((m — 1)(m^3 + m^2 + m + 1) = m^4 + m^3 + m^2 +\)
\(m — m^3 — m^2 — m — 1 = m^4 — 1.\)
б) \((2 — s)(16 + 8s + 4s^2 + 2s^3 + s^4) = 32 + 16s + 8s^2 +\)
\(4s^3 + 2s^4 — 16s — 8s^2 — 4s^3 — 2s^4 — s^5 = 32 — s^5.\)
в) \((x + y)(x^3 — x^2y + xy^2 — y^3) = x^4 — x^3y + x^2y^2 -\)
\(xy^3 + x^3y — x^2y^2 + xy^3 — y^4 = x^4 — y^4.\)
г) \((a + 3)(81 — 27a + 9a^2 — 3a^3 + a^4) = 81a — 27a^2 + 9a^3 -\)
\(3a^4 + a^5 + 243 — 81a + 27a^2 — 9a^3 + 3a^4 = a^5 + 243.\)
а) Упрощение выражения
Исходное выражение:
\[
(m — 1)(m^3 + m^2 + m + 1)
\]
Шаг 1: Распределение
Применим распределительное свойство:
\[
= m(m^3 + m^2 + m + 1) — 1(m^3 + m^2 + m + 1)
\]
Шаг 2: Умножение
Теперь умножим:
1. \(m(m^3) = m^4\)
2. \(m(m^2) = m^3\)
3. \(m(m) = m^2\)
4. \(m(1) = m\)
5. \(-1(m^3) = -m^3\)
6. \(-1(m^2) = -m^2\)
7. \(-1(m) = -m\)
8. \(-1(1) = -1\)
Шаг 3: Объединение результатов
Теперь соберем все полученные слагаемые:
\[
m^4 + m^3 + m^2 + m — m^3 — m^2 — m — 1
\]
Шаг 4: Упрощение
Объединим подобные слагаемые:
\[
= m^4 + (m^3 — m^3) + (m^2 — m^2) + (m — m) — 1
\]
Это упрощается до:
\[
= m^4 — 1
\]
Заключение для части а)
Таким образом, уравнение:
\[
(m — 1)(m^3 + m^2 + m + 1) = m^4 — 1
\]
б) Упрощение выражения
Исходное выражение:
\[
(2 — s)(16 + 8s + 4s^2 + 2s^3 + s^4)
\]
Шаг 1: Распределение
Применим распределительное свойство:
\[
= 2(16 + 8s + 4s^2 + 2s^3 + s^4) — s(16 + 8s + 4s^2 + 2s^3 + s^4)
\]
Шаг 2: Умножение
Теперь умножим:
1. \(2(16) = 32\)
2. \(2(8s) = 16s\)
3. \(2(4s^2) = 8s^2\)
4. \(2(2s^3) = 4s^3\)
5. \(2(s^4) = 2s^4\)
6. \(-s(16) = -16s\)
7. \(-s(8s) = -8s^2\)
8. \(-s(4s^2) = -4s^3\)
9. \(-s(2s^3) = -2s^4\)
10. \(-s(s^4) = -s^5\)
Шаг 3: Объединение результатов
Теперь соберем все полученные слагаемые:
\[
32 + 16s + 8s^2 + 4s^3 + 2s^4 — 16s — 8s^2 — 4s^3 — 2s^4 — s^5
\]
Шаг 4: Упрощение
Объединим подобные слагаемые:
\[
= 32 + (16s — 16s) + (8s^2 — 8s^2) + (4s^3 — 4s^3) + (2s^4 — 2s^4) — s^5
\]
Это упрощается до:
\[
= 32 — s^5
\]
Заключение для части б)
Таким образом, уравнение:
\[
(2 — s)(16 + 8s + 4s^2 + 2s^3 + s^4) = 32 — s^5
\]
в) Упрощение выражения
Исходное выражение:
\[
(x + y)(x^3 — x^2y + xy^2 — y^3)
\]
Шаг 1: Распределение
Применим распределительное свойство:
\[
= x(x^3 — x^2y + xy^2 — y^3) + y(x^3 — x^2y + xy^2 — y^3)
\]
Шаг 2: Умножение
Теперь умножим:
1. \(x(x^3) = x^4\)
2. \(x(-x^2y) = -x^3y\)
3. \(x(xy^2) = x^2y^2\)
4. \(x(-y^3) = -xy^3\)
5. \(y(x^3) = xy^3\)
6. \(y(-x^2y) = -yx^2y = -x^2y^2\)
7. \(y(xy^2) = xy^3\)
8. \(y(-y^3) = -y^4\)
Шаг 3: Объединение результатов
Теперь соберем все полученные слагаемые:
\[
x^4 — x^3y + x^2y^2 — xy^3 + xy^3 — x^2y^2 — y^4
\]
Шаг 4: Упрощение
Объединим подобные слагаемые:
\[
= x^4 + (-x^3y + x^3y) + (x^2y^2 — x^2y^2) — y^4
\]
Это упрощается до:
\[
= x^4 — y^4
\]
Заключение для части в)
Таким образом, уравнение:
\[
(x + y)(x^3 — x^2y + xy^2 — y^3) = x^4 — y^4
\]
г) Упрощение выражения
Исходное выражение:
\[
(a + 3)(81 — 27a + 9a^2 — 3a^3 + a^4)
\]
Шаг 1: Распределение
Применим распределительное свойство:
\[
= a(81 — 27a + 9a^2 — 3a^3 + a^4) + 3(81 — 27a + 9a^2 — 3a^3 + a^4)
\]
Шаг 2: Умножение
Теперь умножим:
1. \(a(81) = 81a\)
2. \(a(-27a) = -27a^2\)
3. \(a(9a^2) = 9a^3\)
4. \(a(-3a^3) = -3a^4\)
5. \(a(a^4) = a^5\)
6. \(3(81) = 243\)
7. \(3(-27a) = -81a\)
8. \(3(9a^2) = 27a^2\)
9. \(3(-3a^3) = -9a^3\)
10. \(3(a^4) = 3a^4\)
Шаг 3: Объединение результатов
Теперь соберем все полученные слагаемые:
\[
81a — 27a^2 + 9a^3 — 3a^4 + a^5 + 243 — 81a + 27a^2 — 9a^3 + 3a^4
\]
Шаг 4: Упрощение
Объединим подобные слагаемые:
\[
= (81a — 81a) + (-27a^2 + 27a^2) + (9a^3 — 9a^3) + (-3a^4 + 3a^4) + a^5 + 243
\]
Это упрощается до:
\[
= a^5 + 243
\]
Заключение для части г)
Таким образом, уравнение:
\[
(a + 3)(81 — 27a + 9a^2 — 3a^3 + a^4) = a^5 + 243
\]
