Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.13 Мордкович — Подробные Ответы
Преобразуйте квадрат двучлена в многочлен стандартного вида:
а) \( \left( 2\frac{1}{3}a — 1\frac{1}{14}b \right)^2 \)
б) \( \left( 0{,}9x + 1\frac{13}{27}y \right)^2 \)
в) \( \left( -1{,}2x — 4\frac{1}{6}y \right)^2 \)
г) \( \left( -2{,}3a + 1\frac{2}{23}b \right)^2 \)
\[
\left(2\frac{1}{3}a — 1\frac{1}{14}b\right)^{2} = \left(\frac{7}{3}a — \frac{15}{14}b\right)^{2} = \frac{49}{9}a^{2} — 2 \cdot \frac{7}{3} \cdot \frac{15}{14}ab + \frac{225}{196}b^{2} = 5\frac{4}{9}a^{2} — 5ab + 1\frac{29}{196}b^{2}
\]
б)
\[
\left(0{,}9x + 1\frac{13}{27}y\right)^{2} = \left(\frac{9}{10}x + \frac{40}{27}y\right)^{2} = \frac{81}{100}x^{2} + 2 \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{40}{27}xy + \frac{1600}{729}y^{2} = 0{,}81x^{2} + \frac{8}{3}xy + 2\frac{142}{729}y^{2}
\]
в)
\[
\left(-1{,}2x — 4\frac{1}{6}y\right)^{2} = \left(-1{,}2x — \frac{25}{6}y\right)^{2} = 1{,}44x^{2} + 2 \cdot 1{,}2 \cdot \frac{25}{6}xy + \frac{625}{36}y^{2} = 1{,}44x^{2} + 0{,}4 \cdot 25xy + 17\frac{13}{36}y^{2} = 1{,}44x^{2} + 10xy + 17\frac{13}{36}y^{2}
\]
г)
\[
\left(-2{,}3a + 1\frac{2}{23}b\right)^{2} = \left(-2{,}3a + \frac{25}{23}b\right)^{2} = 5{,}29a^{2} — 2 \cdot 2{,}3 \cdot \frac{25}{23}ab + \frac{625}{529}b^{2} = 5{,}29a^{2} — 0{,}2 \cdot 25ab + 1\frac{96}{529}b^{2} = 5{,}29a^{2} — 5ab + 1\frac{96}{529}b^{2}
\]
а) \( \left(2\frac{1}{3}a — 1\frac{1}{14}b\right)^{2} \)
Сначала переведём смешанные числа в неправильные дроби:
\[
2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}, \quad 1\frac{1}{14} = \frac{15}{14}
\]
Получаем:
\[
\left(\frac{7}{3}a — \frac{15}{14}b\right)^{2}
\]
Применяем формулу квадрата разности:
\[
(u — v)^{2} = u^{2} — 2uv + v^{2}
\]
где \( u = \frac{7}{3}a \), \( v = \frac{15}{14}b \).
Вычислим каждое слагаемое:
\[
u^{2} = \left(\frac{7}{3}a\right)^{2} = \frac{49}{9}a^{2}
\]
\[
2uv = 2 \cdot \frac{7}{3}a \cdot \frac{15}{14}b = 2 \cdot \frac{7 \cdot 15}{3 \cdot 14}ab = 2 \cdot \frac{105}{42}ab = 2 \cdot \frac{5}{2}ab = 5ab
\]
\[
v^{2} = \left(\frac{15}{14}b\right)^{2} = \frac{225}{196}b^{2}
\]
Подставляем в формулу:
\[
\frac{49}{9}a^{2} — 5ab + \frac{225}{196}b^{2}
\]
Переведём дроби в смешанные числа:
\[
\frac{49}{9} = 5\frac{4}{9}, \quad \frac{225}{196} = 1\frac{29}{196}
\]
Итог:
\[
5\frac{4}{9}a^{2} — 5ab + 1\frac{29}{196}b^{2}
\]
б) \( \left(0{,}9x + 1\frac{13}{27}y\right)^{2} \)
Переведём числа в обыкновенные дроби:
\[
0{,}9 = \frac{9}{10}, \quad 1\frac{13}{27} = \frac{40}{27}
\]
Получаем:
\[
\left(\frac{9}{10}x + \frac{40}{27}y\right)^{2}
\]
Применяем формулу квадрата суммы:
\[
(u + v)^{2} = u^{2} + 2uv + v^{2}
\]
где \( u = \frac{9}{10}x \), \( v = \frac{40}{27}y \).
Вычислим:
\[
u^{2} = \left(\frac{9}{10}x\right)^{2} = \frac{81}{100}x^{2} = 0{,}81x^{2}
\]
\[
2uv = 2 \cdot \frac{9}{10}x \cdot \frac{40}{27}y = 2 \cdot \frac{360}{270}xy = 2 \cdot \frac{4}{3}xy = \frac{8}{3}xy
\]
\[
v^{2} = \left(\frac{40}{27}y\right)^{2} = \frac{1600}{729}y^{2} = 2\frac{142}{729}y^{2}
\]
Итог:
\[
0{,}81x^{2} + \frac{8}{3}xy + 2\frac{142}{729}y^{2}
\]
в) \( \left(-1{,}2x — 4\frac{1}{6}y\right)^{2} \)
Переведём в дроби:
\[
-1{,}2 = -\frac{6}{5}, \quad 4\frac{1}{6} = \frac{25}{6}
\]
Выражение:
\[
\left(-\frac{6}{5}x — \frac{25}{6}y\right)^{2}
\]
Знак минус можно вынести, и при возведении в квадрат он исчезает:
\[
\left(\frac{6}{5}x + \frac{25}{6}y\right)^{2}
\]
Применяем формулу квадрата суммы:
\[
\left(\frac{6}{5}x\right)^{2} = \frac{36}{25}x^{2} = 1{,}44x^{2}
\]
\[
2 \cdot \frac{6}{5}x \cdot \frac{25}{6}y = 2 \cdot \frac{150}{30}xy = 2 \cdot 5xy = 10xy
\]
\[
\left(\frac{25}{6}y\right)^{2} = \frac{625}{36}y^{2} = 17\frac{13}{36}y^{2}
\]
Итог:
\[
1{,}44x^{2} + 10xy + 17\frac{13}{36}y^{2}
\]
г) \( \left(-2{,}3a + 1\frac{2}{23}b\right)^{2} \)
Переведём в дроби:
\[
-2{,}3 = -\frac{23}{10}, \quad 1\frac{2}{23} = \frac{25}{23}
\]
Выражение:
\[
\left(-\frac{23}{10}a + \frac{25}{23}b\right)^{2}
\]
Это квадрат разности (можно переписать как \( \left(\frac{25}{23}b — \frac{23}{10}a\right)^{2} \)).
Вычислим:
\[
\left(\frac{23}{10}a\right)^{2} = \frac{529}{100}a^{2} = 5{,}29a^{2}
\]
\[
2 \cdot \frac{23}{10}a \cdot \frac{25}{23}b = 2 \cdot \frac{575}{230}ab = 2 \cdot \frac{5}{2}ab = 5ab
\]
\[
\left(\frac{25}{23}b\right)^{2} = \frac{625}{529}b^{2} = 1\frac{96}{529}b^{2}
\]
С учётом знака:
\[
5{,}29a^{2} — 5ab + 1\frac{96}{529}b^{2}
\]
Ответы:
а) \( 5\frac{4}{9}a^{2} — 5ab + 1\frac{29}{196}b^{2} \)
б) \( 0{,}81x^{2} + \frac{8}{3}xy + 2\frac{142}{729}y^{2} \)
в) \( 1{,}44x^{2} + 10xy + 17\frac{13}{36}y^{2} \)
г) \( 5{,}29a^{2} — 5ab + 1\frac{96}{529}b^{2} \)
