Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.20 Мордкович — Подробные Ответы
Выполните действия, используя соответствующую формулу сокращённого умножения:
а) \( (a — b)(a + b) \)
б) \( (c — d)(c + d) \)
в) \( (m — n)(m + n) \)
г) \( (p — q)(p + q) \)
а) (a − b)(a + b) = a² − b².
б) (c − d)(c + d) = c² − d².
в) (m − n)(m + n) = m² − n².
г) (p − q)(p + q) = p² − q².
а)
\( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \)
это равенство представляет собой алгебраическое тождество, известное как формула разности квадратов. оно справедливо для любых числовых или буквенных значений \( a \) и \( b \). левая часть содержит произведение разности и суммы двух выражений, а правая часть — разность их квадратов. тождество можно проверить прямым раскрытием скобок:
\[
(a — b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b — b \cdot a — b \cdot b = a^2 + ab — ab — b^2 = a^2 — b^2.
\]
б)
\( (c — d)(c + d) = c^2 — d^2 \)
здесь использованы другие буквы, но структура выражения совершенно аналогична предыдущему случаю. раскрывая скобки, получаем:
\[
(c — d)(c + d) = c \cdot c + c \cdot d — d \cdot c — d \cdot d = c^2 + cd — cd — d^2 = c^2 — d^2.
\]
слагаемые \( cd \) взаимно уничтожаются, и остаётся разность квадратов. это подтверждает универсальность формулы: она не зависит от конкретных обозначений переменных.
в)
\( (m — n)(m + n) = m^2 — n^2 \)
аналогично, при умножении суммы и разности одних и тех же величин всегда получается разность их квадратов. проверка:
\[
(m — n)(m + n) = m \cdot m + m \cdot n — n \cdot m — n \cdot n = m^2 + mn — mn — n^2 = m^2 — n^2.
\]
независимо от того, как обозначены переменные — \( a \) и \( b \), \( c \) и \( d \), \( m \) и \( n \) — результат остаётся тем же.
г)
\( (p — q)(p + q) = p^2 — q^2 \)
это ещё одно выражение той же формулы. при раскрытии:
\[
(p — q)(p + q) = p \cdot p + p \cdot q — q \cdot p — q \cdot q = p^2 + pq — pq — q^2 = p^2 — q^2.
\]
таким образом, независимо от выбора букв, произведение (переменная минус другая переменная) на (первая плюс вторая) всегда даёт разность квадратов этих переменных.
ответы:
а) \( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \)
б) \( (c — d)(c + d) = c^2 — d^2 \)
в) \( (m — n)(m + n) = m^2 — n^2 \)
г) \( (p — q)(p + q) = p^2 — q^2 \)
