Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.23 Мордкович — Подробные Ответы
Выполните действия, используя соответствующую формулу сокращённого умножения:
а) \( (4a — b)(b + 4a) \)
б) \( (x + 7)(7 — x) \)
в) \( (4b + 1)(1 — 4b) \)
г) \( (5m + 2)(2 — 5m) \)
а) (4a − b)(b + 4a) = (4a − b)(4a + b) = 16a² − b².
б) (x + 7)(7 − x) = (7 + x)(7 − x) = 49 − x².
в) (4b + 1)(1 − 4b) = (1 + 4b)(1 − 4b) = 1 − 16b².
г) (5m + 2)(2 − 5m) = (2 + 5m)(2 − 5m) = 4 − 25m².
а)
\( (4a — b)(b + 4a) = (4a — b)(4a + b) = 16a^2 — b^2 \)
в первом множителе стоит разность \( 4a — b \), а во втором — сумма \( b + 4a \). поскольку сложение коммутативно, \( b + 4a = 4a + b \), поэтому выражение можно переписать как \( (4a — b)(4a + b) \). это произведение разности и суммы двух выражений, к которому применима формула разности квадратов:
\[
(u — v)(u + v) = u^2 — v^2.
\]
здесь \( u = 4a \), \( v = b \). тогда:
\[
(4a)^2 — b^2 = 16a^2 — b^2.
\]
таким образом, исходное выражение действительно равно \( 16a^2 — b^2 \).
б)
\( (x + 7)(7 — x) = (7 + x)(7 — x) = 49 — x^2 \)
заметим, что \( x + 7 = 7 + x \) — слагаемые можно менять местами. поэтому выражение принимает вид \( (7 + x)(7 — x) \), то есть произведение суммы и разности чисел 7 и \( x \). применим формулу разности квадратов с \( u = 7 \), \( v = x \):
\[
7^2 — x^2 = 49 — x^2.
\]
проверка раскрытием скобок также подтверждает результат:
\[
(7 + x)(7 — x) = 49 — 7x + 7x — x^2 = 49 — x^2.
\]
следовательно, равенство верно.
в)
\( (4b + 1)(1 — 4b) = (1 + 4b)(1 — 4b) = 1 — 16b^2 \)
в первом множителе \( 4b + 1 \) можно переписать как \( 1 + 4b \), так как сложение коммутативно. тогда получаем \( (1 + 4b)(1 — 4b) \) — произведение суммы и разности \( 1 \) и \( 4b \). по формуле разности квадратов:
\[
1^2 — (4b)^2 = 1 — 16b^2.
\]
раскрытие скобок даёт:
\[
1 \cdot 1 — 1 \cdot 4b + 4b \cdot 1 — 4b \cdot 4b = 1 — 4b + 4b — 16b^2 = 1 — 16b^2,
\]
что подтверждает тождество.
г)
\( (5m + 2)(2 — 5m) = (2 + 5m)(2 — 5m) = 4 — 25m^2 \)
аналогично предыдущим пунктам: \( 5m + 2 = 2 + 5m \), поэтому выражение преобразуется в \( (2 + 5m)(2 — 5m) \). это разность квадратов чисел \( 2 \) и \( 5m \):
\[
2^2 — (5m)^2 = 4 — 25m^2.
\]
раскрывая скобки:
\[
2 \cdot 2 — 2 \cdot 5m + 5m \cdot 2 — 5m \cdot 5m = 4 — 10m + 10m — 25m^2 = 4 — 25m^2,
\]
получаем тот же результат.
ответы:
а) \( (4a — b)(b + 4a) = 16a^2 — b^2 \)
б) \( (x + 7)(7 — x) = 49 — x^2 \)
в) \( (4b + 1)(1 — 4b) = 1 — 16b^2 \)
г) \( (5m + 2)(2 — 5m) = 4 — 25m^2 \)
