Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.31 Мордкович — Подробные Ответы
Выполните действия, используя соответствующую формулу сокращённого умножения:
а) \( (x — 1)(x^2 + x + 1) \)
б) \( (x + 3)(x^2 — 3x + 9) \)
в) \( (x — 2)(x^2 + 2x + 4) \)
г) \( (x + 4)(x^2 — 4x + 16) \)
а) \( (x — 1)(x^2 + x + 1) = x^3 — 1 \).
б) \( (x + 3)(x^2 — 3x + 9) = x^3 + 27 \).
в) \( (x — 2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 — 8 \).
г) \( (x + 4)(x^2 — 4x + 16) = x^3 + 64 \).
а) \( (x — 1)(x^2 + x + 1) \)
Заметим, что это произведение имеет вид формулы разности кубов:
\[
(a — b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 — b^3
\]
Здесь \( a = x \), \( b = 1 \). Проверим:
\( a^2 = x^2 \), \( ab = x \cdot 1 = x \), \( b^2 = 1^2 = 1 \),
значит, второй множитель действительно равен \( x^2 + x + 1 \).
Применяя формулу, получаем:
\[
x^3 — 1^3 = x^3 — 1
\]
Следовательно, \( (x — 1)(x^2 + x + 1) = x^3 — 1 \).
б) \( (x + 3)(x^2 — 3x + 9) \)
Это произведение соответствует формуле суммы кубов:
\[
(a + b)(a^2 — ab + b^2) = a^3 + b^3
\]
Здесь \( a = x \), \( b = 3 \). Проверим второй множитель:
\( a^2 = x^2 \), \( ab = x \cdot 3 = 3x \), \( b^2 = 3^2 = 9 \),
следовательно, \( x^2 — 3x + 9 \) — правильная форма.
Подставляем в формулу:
\[
x^3 + 3^3 = x^3 + 27
\]
Таким образом, \( (x + 3)(x^2 — 3x + 9) = x^3 + 27 \).
в) \( (x — 2)(x^2 + 2x + 4) \)
Снова используем формулу разности кубов:
\[
(a — b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 — b^3
\]
Пусть \( a = x \), \( b = 2 \). Тогда:
\( a^2 = x^2 \), \( ab = x \cdot 2 = 2x \), \( b^2 = 2^2 = 4 \),
и второй множитель действительно равен \( x^2 + 2x + 4 \).
Применяем формулу:
\[
x^3 — 2^3 = x^3 — 8
\]
Итак, \( (x — 2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 — 8 \).
г) \( (x + 4)(x^2 — 4x + 16) \)
Это пример формулы суммы кубов:
\[
(a + b)(a^2 — ab + b^2) = a^3 + b^3
\]
Здесь \( a = x \), \( b = 4 \). Проверим:
\( a^2 = x^2 \), \( ab = x \cdot 4 = 4x \), \( b^2 = 4^2 = 16 \),
поэтому второй множитель \( x^2 — 4x + 16 \) соответствует формуле.
Подставляем:
\[
x^3 + 4^3 = x^3 + 64
\]
Следовательно, \( (x + 4)(x^2 — 4x + 16) = x^3 + 64 \).
*Ответы:
а) \( x^3 — 1 \)
б) \( x^3 + 27 \)
в) \( x^3 — 8 \)
г) \( x^3 + 64 \)
