Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.32 Мордкович — Подробные Ответы
Выполните действия, используя соответствующую формулу сокращённого умножения (суммы или разности кубов):
а) \( (5m + 3n)(25m^2 — 15mn + 9n^2) \)
б) \( (2a — 3x)(4a^2 + 6ax + 9x^2) \)
в) \( (3x + 4y)(9x^2 — 12xy + 16y^2) \)
г) \( (4x — 5y)(16x^2 + 20xy + 25y^2) \)
а) (5m + 3n)(25m² – 15mn + 9n²) = 125m³ + 27n³.
б) (2a – 3x)(4a² + 6ax + 9x²) = 8a³ – 27x³.
в) (3x + 4y)(9x² – 12xy + 16y²) = 27x³ + 64y³.
г) (4x – 5y)(16x² + 20xy + 25y²) = 64x³ – 125y³.
\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2),
\qquad
a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2).
\]
а)
\[
(5m + 3n)(25m^2 — 15mn + 9n^2)
\]
Заметим, что:
\[
25m^2 = (5m)^2, \quad 9n^2 = (3n)^2, \quad 15mn = (5m)(3n).
\]
Следовательно, второй множитель имеет вид:
\[
(5m)^2 — (5m)(3n) + (3n)^2,
\]
а первый множитель — \(5m + 3n\). Это в точности формула суммы кубов с \(a = 5m\), \(b = 3n\):
\[
(5m + 3n)\big((5m)^2 — (5m)(3n) + (3n)^2\big) = (5m)^3 + (3n)^3 = 125m^3 + 27n^3.
\]
Тождество верно.
б)
\[
(2a — 3x)(4a^2 + 6ax + 9x^2)
\]
Проверим структуру:
\[
4a^2 = (2a)^2, \quad 9x^2 = (3x)^2, \quad 6ax = (2a)(3x).
\]
Тогда второй множитель:
\[
(2a)^2 + (2a)(3x) + (3x)^2,
\]
а первый — \(2a — 3x\). Это соответствует формуле разности кубов с \(a = 2a\), \(b = 3x\):
\[
(2a — 3x)\big((2a)^2 + (2a)(3x) + (3x)^2\big) = (2a)^3 — (3x)^3 = 8a^3 — 27x^3.
\]
Тождество верно.
в)
\[
(3x + 4y)(9x^2 — 12xy + 16y^2)
\]
Проверяем:
\[
9x^2 = (3x)^2, \quad 16y^2 = (4y)^2, \quad 12xy = (3x)(4y).
\]
Второй множитель:
\[
(3x)^2 — (3x)(4y) + (4y)^2,
\]
первый — \(3x + 4y\). Это формула суммы кубов с \(a = 3x\), \(b = 4y\):
\[
(3x + 4y)^3 = (3x)^3 + (4y)^3 = 27x^3 + 64y^3.
\]
Тождество верно.
г)
\[
(4x — 5y)(16x^2 + 20xy + 25y^2)
\]
Проверим:
\[
16x^2 = (4x)^2, \quad 25y^2 = (5y)^2, \quad 20xy = (4x)(5y).
\]
Второй множитель:
\[
(4x)^2 + (4x)(5y) + (5y)^2,
\]
первый — \(4x — 5y\). Это формула разности кубов с \(a = 4x\), \(b = 5y\):
\[
(4x)^3 — (5y)^3 = 64x^3 — 125y^3.
\]
Тождество верно.
Ответы:
а) \( 125m^3 + 27n^3 \)
б) \( 8a^3 — 27x^3 \)
в) \( 27x^3 + 64y^3 \)
г) \( 64x^3 — 125y^3 \)
