Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.42 Мордкович — Подробные Ответы
Упростите выражение и найдите его значение:
а) \( (5a — 10)^2 — (3a — 8)^2 + 132a \) при \( a = -6 \)
б) \( (3p — 8)^2 + (4p + 6)^2 + 100p \) при \( p = -2 \)
в) \( (5b — 3)^2 + (12b — 4)^2 — 4b \) при \( b = -1 \)
г) \( (13 — 5m)^2 — (12 — 4m)^2 + 4m \) при \( m = -\frac{2}{3} \)
а) при \( a = -6 \):
\((5a — 10)^2 — (3a — 8)^2 + 132a = 25a^2 — 100a + 100\)
\(- 9a^2 + 48a — 64 + 132a = 16a^2 + 80a + 36 = 16a^2 +\)
\(48a + 36 + 32a = (4a + 6)^2 + 32a = (4 \cdot (-6) + 6)^2 +\)
\(32 \cdot (-6) = (-24 + 6)^2 — 192 = (-18)^2 — 192 = 324 — 192 = 132.\)
б) при \( p = -2 \):
\((3p — 8)^2 + (4p + 6)^2 + 100p = 9p^2 — 48p + 64 + 16p^2 + 48p + 36 + 100p=\)
\(= 25p^2 + 100 + 100p = (5p + 10)^2 = (5 \cdot (-2) + 10)^2 (-10 + 10)^2 = 0^2 = 0.\)
в) при \( b = -1 \):
\((5b — 3)^2 + (12b — 4)^2 — 4b = 25b^2 — 30b + 9 + 144b^2 — 96b + 16 — 4b= 169b^2 \)
\(- 130b + 25 = (13b — 5)^2 = (13 \cdot (-1) — 5)^2 = (-13 — 5)^2 = (-18)^2 = 324.\)
г) при \( m = -\frac{2}{3} \):
\((13 — 5m)^2 — (12 — 4m)^2 + 4m = 169 — 130m + 25m^2 — 144 + 96m -\)
\(16m^2 + 4m = 9m^2 — 30m + 25 = (3m — 5)^2\)
\(= \left(3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) — 5\right)^2 = (-2 — 5)^2 = (-7)^2 = 49.\)
а) при \( a = -6 \):
Исходное выражение:
\[
(5a — 10)^2 — (3a — 8)^2 + 132a.
\]
1. Раскроем квадраты:
\[
(5a — 10)^2 = (5a)^2 — 2 \cdot 5a \cdot 10 + 10^2 = 25a^2 — 100a + 100,
\]
\[
(3a — 8)^2 = (3a)^2 — 2 \cdot 3a \cdot 8 + 8^2 = 9a^2 — 48a + 64.
\]
2. Подставим в выражение, учитывая знак «минус» перед вторым квадратом:
\[
(25a^2 — 100a + 100) — (9a^2 — 48a + 64) + 132a.
\]
3. Раскроем скобки:
\[
25a^2 — 100a + 100 — 9a^2 + 48a — 64 + 132a.
\]
4. Сгруппируем и приведём подобные:
— Квадраты: \(25a^2 — 9a^2 = 16a^2\),
— Линейные члены: \(-100a + 48a + 132a = 80a\),
— Свободные члены: \(100 — 64 = 36\).
Получаем:
\[
16a^2 + 80a + 36.
\]
5. Заметим, что первые три слагаемых можно сгруппировать как квадрат двучлена:
\[
(4a + 6)^2 = 16a^2 + 48a + 36,
\]
поэтому
\[
16a^2 + 80a + 36 = (4a + 6)^2 + 32a.
\]
6. Подставим \( a = -6 \):
\(
(4 \cdot (-6) + 6)^2 + 32 \cdot (-6)\)
\(= (-24 + 6)^2 — 192 = (-18)^2 — 192 = 324 — 192 = 132.
\)
б) при \( p = -2 \):
Исходное выражение:
\[
(3p — 8)^2 + (4p + 6)^2 + 100p.
\]
1. Раскроем квадраты:
\[
(3p — 8)^2 = 9p^2 — 48p + 64,
\]
\[
(4p + 6)^2 = (4p)^2 + 2 \cdot 4p \cdot 6 + 6^2 = 16p^2 + 48p + 36.
\]
2. Подставим и добавим \(100p\):
\[
9p^2 — 48p + 64 + 16p^2 + 48p + 36 + 100p.
\]
3. Приведём подобные:
— \(9p^2 + 16p^2 = 25p^2\),
— \(-48p + 48p + 100p = 100p\),
— \(64 + 36 = 100\).
Получаем:
\[
25p^2 + 100p + 100.
\]
4. Это полный квадрат:
\[
(5p + 10)^2 = 25p^2 + 2 \cdot 5p \cdot 10 + 100 = 25p^2 + 100p + 100.
\]
5. Подставим \( p = -2 \):
\[
(5 \cdot (-2) + 10)^2 = (-10 + 10)^2 = 0^2 = 0.
\]
в) при \( b = -1 \):
Исходное выражение:
\[
(5b — 3)^2 + (12b — 4)^2 — 4b.
\]
1. Раскроем квадраты:
\[
(5b — 3)^2 = 25b^2 — 30b + 9,
\]
\[
(12b — 4)^2 = 144b^2 — 96b + 16.
\]
2. Подставим и вычтем \(4b\):
\[
25b^2 — 30b + 9 + 144b^2 — 96b + 16 — 4b.
\]
3. Приведём подобные:
— \(25b^2 + 144b^2 = 169b^2\),
— \(-30b — 96b — 4b = -130b\),
— \(9 + 16 = 25\).
Получаем:
\[
169b^2 — 130b + 25.
\]
4. Это квадрат разности:
\[
(13b — 5)^2 = 169b^2 — 2 \cdot 13b \cdot 5 + 25 = 169b^2 — 130b + 25.
\]
5. Подставим \( b = -1 \):
\[
(13 \cdot (-1) — 5)^2 = (-13 — 5)^2 = (-18)^2 = 324.
\]
г) при \( m = -\frac{2}{3} \):
Исходное выражение:
\[
(13 — 5m)^2 — (12 — 4m)^2 + 4m.
\]
1. Раскроем квадраты:
\[
(13 — 5m)^2 = 13^2 — 2 \cdot 13 \cdot 5m + (5m)^2 = 169 — 130m + 25m^2,
\]
\[
(12 — 4m)^2 = 144 — 96m + 16m^2.
\]
2. Подставим с учётом знака «минус»:
\[
(169 — 130m + 25m^2) — (144 — 96m + 16m^2) + 4m.
\]
3. Раскроем скобки:
\[
169 — 130m + 25m^2 — 144 + 96m — 16m^2 + 4m.
\]
4. Приведём подобные:
— \(25m^2 — 16m^2 = 9m^2\),
— \(-130m + 96m + 4m = -30m\),
— \(169 — 144 = 25\).
Получаем:
\[
9m^2 — 30m + 25.
\]
5. Это полный квадрат:
\[
(3m — 5)^2 = 9m^2 — 30m + 25.
\]
6. Подставим \( m = -\frac{2}{3} \):
\[
\left(3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) — 5\right)^2 = (-2 — 5)^2 = (-7)^2 = 49.
\]
Ответы:
а) \( 132 \)
б) \( 0 \)
в) \( 324 \)
г) \( 49 \)
