ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.47 Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \( (x — 1)(x^2 + x + 1) = 0 \)
б) \( (x + 2)(x^2 — 2x + 4) = 7 \)
в) \( (x — 2)(x^2 + 2x + 4) = 0 \)
г) \( (x + 1)(x^2 — x + 1) = -7 \)

а) (x – 1)(x² + x + 1) = 0
x³ – 1 = 0
x³ = 1
x = 1.

б) (x + 2)(x² – 2x + 4) = 7
x³ + 8 ≠ 7
x³ = 7 – 8
x³ = –1
x = –1.

в) (x – 2)(x² + 2x + 4) = 0
x³ – 8 = 0
x³ = 8
x = 2.

г) (x + 1)(x² – x + 1) = –7
x³ + 1 = –7
x³ = –8
x = –2.

а) \( (x — 1)(x + 1) = 2(x — 3)^2 — x^2 \)

Сначала раскроем левую часть по формуле разности квадратов:
\[
(x — 1)(x + 1) = x^2 — 1^2 = x^2 — 1
\]

Теперь раскроем квадрат разности в правой части:
\[
(x — 3)^2 = x^2 — 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 — 6x + 9
\]

Умножим это выражение на 2:
\[
2(x^2 — 6x + 9) = 2x^2 — 12x + 18
\]

Теперь вычтем \( x^2 \):
\[
2x^2 — 12x + 18 — x^2 = x^2 — 12x + 18
\]

Подставим упрощённые левую и правую части в уравнение:
\[
x^2 — 1 = x^2 — 12x + 18
\]

Вычтем \( x^2 \) из обеих частей:
\[
-1 = -12x + 18
\]

Перенесём 18 в левую часть:
\[
-1 — 18 = -12x
\]
\[
-19 = -12x
\]

Разделим обе части на \(-12\):
\[
x = \frac{19}{12} = 1\frac{7}{12}
\]

Следовательно, решение уравнения: \( x = \frac{19}{12} \).

б) \( (2x + 3)^2 — 4(x — 1)(x + 1) = 49 \)

Раскроем квадрат суммы:
\[
(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9
\]

Раскроем произведение по формуле разности квадратов:
\[
(x — 1)(x + 1) = x^2 — 1
\]

Умножим на 4:
\[
4(x^2 — 1) = 4x^2 — 4
\]

Подставим в левую часть уравнения, учитывая минус перед вторым слагаемым:
\[
(4x^2 + 12x + 9) — (4x^2 — 4) = 4x^2 + 12x + 9 — 4x^2 + 4
\]

Приведём подобные:
\[
(4x^2 — 4x^2) + 12x + (9 + 4) = 12x + 13
\]

Получаем уравнение:
\[
12x + 13 = 49
\]

Переносим 13 в правую часть:
\[
12x = 49 — 13 = 36
\]

Делим на 12:
\[
x = 3
\]

Таким образом, решение уравнения: \( x = 3 \).

в) \( 3(x + 5)^2 — 4x^2 = (2 — x)(2 + x) \)

Сначала раскроем квадрат суммы:
\[
(x + 5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25
\]

Умножим на 3:
\[
3(x^2 + 10x + 25) = 3x^2 + 30x + 75
\]

Вычтем \( 4x^2 \):
\[
3x^2 + 30x + 75 — 4x^2 = -x^2 + 30x + 75
\]

Теперь раскроем правую часть по формуле разности квадратов:
\[
(2 — x)(2 + x) = 2^2 — x^2 = 4 — x^2
\]

Подставим обе упрощённые части в уравнение:
\[
-x^2 + 30x + 75 = 4 — x^2
\]

Прибавим \( x^2 \) к обеим частям:
\[
30x + 75 = 4
\]

Перенесём 75 в правую часть:
\[
30x = 4 — 75 = -71
\]

Разделим на 30:
\[
x = -\frac{71}{30} = -2\frac{11}{30}
\]

Итак, решение уравнения: \( x = -\frac{71}{30} \).

г) \( (3x + 1)^2 — (3x — 2)(2 + 3x) = 17 \)

Заметим, что \( (3x — 2)(2 + 3x) = (3x — 2)(3x + 2) \) — это разность квадратов:
\[
(3x — 2)(3x + 2) = (3x)^2 — 2^2 = 9x^2 — 4
\]

Раскроем квадрат суммы в первом слагаемом:
\[
(3x + 1)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = 9x^2 + 6x + 1
\]

Подставим в левую часть, учитывая минус перед второй скобкой:
\[
(9x^2 + 6x + 1) — (9x^2 — 4) = 9x^2 + 6x + 1 — 9x^2 + 4
\]

Приведём подобные:
\[
(9x^2 — 9x^2) + 6x + (1 + 4) = 6x + 5
\]

Получаем уравнение:
\[
6x + 5 = 17
\]

Переносим 5 в правую часть:
\[
6x = 17 — 5 = 12
\]

Делим на 6:
\[
x = 2
\]

Следовательно, решение уравнения: \( x = 2 \).Ответы:
а) \( \frac{19}{12} \)
б) \( 3 \)
в) \( -\frac{71}{30} \)
г) \( 2 \)