Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.48 Мордкович — Подробные Ответы
В прямоугольном параллелепипеде длина на \(5\ \text{см}\) больше ширины и на \(5\ \text{см}\) меньше высоты. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если площадь его поверхности равна \(244\ \text{см}^2\).
Пусть длина \( x \) см, тогда ширина \( x — 5 \) см, а высота \( x + 5 \) см.
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна \( 244 \, \text{см}^2 \).
Составим уравнение:
\[
S_{\text{поверх}} = 2(ab + bc + ac)
\]
\[
2 \cdot (x(x — 5) + (x — 5)(x + 5) + x(x + 5)) = 244 \quad | : 2
\]
\[
x^2 — 5x + x^2 — 25 + x^2 + 5x = 122
\]
\[
3x^2 = 122 + 25
\]
\[
3x^2 = 147
\]
\[
x^2 = 49
\]
\[
x = -7 — не подходит, \quad x = 7 \, (\text{см}) — длина прямоугольного параллелепипеда.
\]
\[
x — 5 = 7 — 5 = 2 \, (\text{см}) — ширина.
\]
\[
x + 5 = 7 + 5 = 12 \, (\text{см}) — высота.
\]
Ответ: \( 7 \, \text{см}, \, 2 \, \text{см} \, \text{и} \, 12 \, \text{см}. \)
Пусть длина прямоугольного параллелепипеда равна \( x \) см.
Тогда, согласно условию задачи, ширина на 5 см меньше длины, то есть составляет \( x — 5 \) см, а высота на 5 см больше длины, то есть равна \( x + 5 \) см.
Известно, что полная площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
\[
S_{\text{поверх}} = 2(ab + bc + ac),
\]
где \( a, b, c \) — его измерения (длина, ширина, высота).
Подставим вместо \( a, b, c \) выражения через \( x \):
\[
a = x, \quad b = x — 5, \quad c = x + 5.
\]
Тогда площадь поверхности равна:
\[
2 \cdot \bigl( x(x — 5) + (x — 5)(x + 5) + x(x + 5) \bigr).
\]
По условию эта площадь равна \( 244 \, \text{см}^2 \), поэтому запишем уравнение:
\[
2 \cdot \bigl( x(x — 5) + (x — 5)(x + 5) + x(x + 5) \bigr) = 244.
\]
Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:
\[
x(x — 5) + (x — 5)(x + 5) + x(x + 5) = 122.
\]
Теперь раскроем все скобки по отдельности:
\[
x(x — 5) = x^2 — 5x,
\]
\[
(x — 5)(x + 5) = x^2 — 25 \quad \text{(формула разности квадратов)},
\]
\[
x(x + 5) = x^2 + 5x.
\]
Сложим полученные выражения:
\[
(x^2 — 5x) + (x^2 — 25) + (x^2 + 5x).
\]
Заметим, что линейные члены \( -5x \) и \( +5x \) взаимно уничтожаются. Остаётся:
\[
x^2 + x^2 + x^2 — 25 = 3x^2 — 25.
\]
Таким образом, уравнение принимает вид:
\[
3x^2 — 25 = 122.
\]
Перенесём число \( -25 \) в правую часть, изменив знак на противоположный:
\[
3x^2 = 122 + 25,
\]
\[
3x^2 = 147.
\]
Разделим обе части на 3:
\[
x^2 = \frac{147}{3} = 49.
\]
Извлечём квадратный корень из обеих частей:
\[
x = \pm 7.
\]
Поскольку длина не может быть отрицательной, отбрасываем отрицательный корень. Получаем:
\[
x = 7 \, \text{см} \quad \text{— длина прямоугольного параллелепипеда.}
\]
Теперь найдём остальные измерения:
\[
x — 5 = 7 — 5 = 2 \, \text{см} \quad \text{— ширина,}
\]
\[
x + 5 = 7 + 5 = 12 \, \text{см} \quad \text{— высота.}
\]
Для уверенности проверим, действительно ли площадь поверхности равна 244 см²:
\[
2 \cdot (7 \cdot 2 + 2 \cdot 12 + 7 \cdot 12) = 2 \cdot (14 + 24 + 84) = 2 \cdot 122 = 244.
\]
Проверка подтверждает правильность решения.
Ответ: \( 7 \, \text{см}, \, 2 \, \text{см} \, \text{и} \, 12 \, \text{см}. \)
