ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.49 Мордкович — Подробные Ответы

В прямоугольном параллелепипеде длина на \(3\ \text{см}\) больше ширины и на \(3\ \text{см}\) меньше высоты. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если площадь его поверхности равна \(198\ \text{см}^2\).

Пусть длина равна \( x \) см, тогда ширина равна \( x — 3 \) см, а высота равна \( x + 3 \) см. Площадь его поверхности равна 198 см².
Составим уравнение:

\[
S_{\text{поверх}} = 2(ab + bc + ac)
\]

\[
2 \cdot (x(x — 3) + (x — 3)(x + 3) + x(x + 3)) = 198 \quad | : 2
\]

\[
x^2 — 3x + x^2 — 9 + x^2 + 3x = 99
\]

\[
3x^2 = 99 + 9
\]

\[
3x^2 = 108
\]

\[
x^2 = 36
\]

\[
x = -6 \text{не подходит}, \quad x = 6 \text{ (см)} — \text{длина прямоугольного параллелепипеда}.
\]

\[
x — 3 = 6 — 3 = 3 \text{ (см)} — \text{ширина}.
\]

\[
x + 3 = 6 + 3 = 9 \text{ (см)} — \text{высота}.
\]

Ответ: 6 см, 3 см и 9 см.

Пусть длина прямоугольного параллелепипеда равна \( x \) см.
По условию задачи ширина на 3 см меньше длины, поэтому ширина равна \( x — 3 \) см.
Высота на 3 см больше длины, значит, высота равна \( x + 3 \) см.
Известно, что площадь всей поверхности параллелепипеда равна 198 см².
Вспомним формулу площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:

\[
S_{\text{поверх}} = 2(ab + bc + ac),
\]

где \( a, b, c \) — длина, ширина и высота соответственно.
Подставим вместо \( a, b, c \) выражения через \( x \):

\[
2 \big( x(x — 3) + (x — 3)(x + 3) + x(x + 3) \big) = 198
\]

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить:

\[
x(x — 3) + (x — 3)(x + 3) + x(x + 3) = 99
\]

Теперь раскроем каждое произведение по отдельности.
Первое: \( x(x — 3) = x^2 — 3x \).
Второе: \( (x — 3)(x + 3) = x^2 — 9 \) — по формуле разности квадратов.
Третье: \( x(x + 3) = x^2 + 3x \).
Подставим все три результата в левую часть уравнения:

\[
(x^2 — 3x) + (x^2 — 9) + (x^2 + 3x) = 99
\]

Теперь раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\[
x^2 — 3x + x^2 — 9 + x^2 + 3x = 99
\]

Слагаемые с \( x \) взаимно уничтожаются: \( -3x + 3x = 0 \).
Остаётся:

\[
x^2 + x^2 + x^2 — 9 = 99
\]

\[
3x^2 — 9 = 99
\]

Перенесём \(-9\) в правую часть с противоположным знаком:

\[
3x^2 = 99 + 9 = 108
\]

Разделим обе части на 3:

\[
x^2 = 36
\]

Извлечём квадратный корень:

\[
x = \sqrt{36} = 6 \quad \text{или} \quad x = -6
\]

Поскольку длина не может быть отрицательной, значение \( x = -6 \) не подходит.
Следовательно, \( x = 6 \) см — это длина.
Теперь найдём ширину:

\[
x — 3 = 6 — 3 = 3 \text{ см}
\]

И высоту:

\[
x + 3 = 6 + 3 = 9 \text{ см}
\]

Проверим: вычислим площадь поверхности с этими размерами.
Пары граней:
— передняя и задняя: \( 6 \cdot 9 = 54 \) см², две такие грани — \( 108 \) см²;
— левая и правая: \( 3 \cdot 9 = 27 \) см², две — \( 54 \) см²;
— верхняя и нижняя: \( 6 \cdot 3 = 18 \) см², две — \( 36 \) см².
Общая площадь: \( 108 + 54 + 36 = 198 \) см² — совпадает с условием.
Значит, решение верно.

Ответ: 6 см, 3 см и 9 см.