Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.52 Мордкович — Подробные Ответы
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а) \( (x^n — 2^3)(x^n + 2^3) \)
б) \( (a^{2n} + b^n)(a^{2n} — b^n) \)
в) \( (c^n — d^{3n})(c^n + d^{3n}) \)
г) \( (a^{n+1} — b^{n-1})(a^{n+1} + b^{n-1}) \)
а) \( (x^n — 2^3)(x^n + 2^3) = x^{2n} — 4^3 = x^{2n} — 64 \).
б) \( (a^{2n} + b^n)(a^{2n} — b^n) = a^{4n} — b^{2n} \).
в) \( (c^n — d^{3n})(c^n + d^{3n}) = c^{2n} — d^{6n} \).
г) \( (a^{n+1} — b^{n-1})(a^{n+1} + b^{n-1}) = a^{2(n+1)} — b^{2(n-1)} \).
а) \( (x^n — 2^3)(x^n + 2^3) \)
Заметим, что это произведение вида \( (A — B)(A + B) \), которое по формуле разности квадратов равно \( A^2 — B^2 \).
Здесь \( A = x^n \), \( B = 2^3 = 8 \).
Тогда:
\[
A^2 = (x^n)^2 = x^{2n}, \quad B^2 = (2^3)^2 = 2^{6} = 64
\]
Подставим в формулу:
\[
(x^n — 2^3)(x^n + 2^3) = x^{2n} — 64
\]
Следовательно, \( (x^n — 2^3)(x^n + 2^3) = x^{2n} — 64 \).
б) \( (a^{2n} + b^n)(a^{2n} — b^n) \)
Это также произведение суммы и разности двух выражений. Применим формулу:
\[
(P + Q)(P — Q) = P^2 — Q^2
\]
Пусть \( P = a^{2n} \), \( Q = b^n \).
Тогда:
\[
P^2 = (a^{2n})^2 = a^{4n}, \quad Q^2 = (b^n)^2 = b^{2n}
\]
Подставим:
\[
(a^{2n} + b^n)(a^{2n} — b^n) = a^{4n} — b^{2n}
\]
Таким образом, \( (a^{2n} + b^n)(a^{2n} — b^n) = a^{4n} — b^{2n} \).
в) \( (c^n — d^{3n})(c^n + d^{3n}) \)
Снова имеем разность и сумму одинаковых выражений. Используем формулу разности квадратов:
\[
(R — S)(R + S) = R^2 — S^2
\]
Здесь \( R = c^n \), \( S = d^{3n} \).
Тогда:
\[
R^2 = (c^n)^2 = c^{2n}, \quad S^2 = (d^{3n})^2 = d^{6n}
\]
Подставим:
\[
(c^n — d^{3n})(c^n + d^{3n}) = c^{2n} — d^{6n}
\]
Итак, \( (c^n — d^{3n})(c^n + d^{3n}) = c^{2n} — d^{6n} \).
г) \( (a^{n+1} — b^{n-1})(a^{n+1} + b^{n-1}) \)
Применим ту же формулу разности квадратов:
\[
(U — V)(U + V) = U^2 — V^2
\]
Пусть \( U = a^{n+1} \), \( V = b^{n-1} \).
Найдём квадраты:
\[
U^2 = (a^{n+1})^2 = a^{2(n+1)}, \quad V^2 = (b^{n-1})^2 = b^{2(n-1)}
\]
Подставим в формулу:
\[
(a^{n+1} — b^{n-1})(a^{n+1} + b^{n-1}) = a^{2(n+1)} — b^{2(n-1)}
\]
Следовательно, \( (a^{n+1} — b^{n-1})(a^{n+1} + b^{n-1}) = a^{2(n+1)} — b^{2(n-1)} \).
Ответы:
а) \( x^{2n} — 64 \)
б) \( a^{4n} — b^{2n} \)
в) \( c^{2n} — d^{6n} \)
г) \( a^{2(n+1)} — b^{2(n-1)} \)
