Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.53 Мордкович — Подробные Ответы
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а) \( (3x^2 — 2)(9x^4 + 6x^2 + 4) \)
б) \( (5x^2 + 3)(25x^4 — 15x^2 + 9) \)
в) \( (8b^2 + 3)(64b^4 — 24b^2 + 9) \)
г) \( (7a^2 — 1)(49a^4 + 7a^2 + 1) \)
а) \( (3x^2 — 2)(9x^4 + 6x^2 + 4) = 27x^6 — 8 \).
б) \( (5x^2 + 3)(25x^4 — 15x^2 + 9) = 125x^6 + 27 \).
в) \( (8b^2 + 3)(64b^4 — 24b^2 + 9) = 512b^6 + 27 \).
г) \( (7a^2 — 1)(49a^4 + 7a^2 + 1) = 343a^6 — 1 \).
а) \( (3x^2 — 2)(9x^4 + 6x^2 + 4) \)
Заметим, что вторая скобка похожа на формулу \( a^2 + ab + b^2 \), а первая — на \( a — b \).
Вспомним формулу разности кубов:
\[
(a — b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 — b^3
\]
Проверим, можно ли представить выражения в таком виде.
Пусть \( a = 3x^2 \), \( b = 2 \).
Тогда:
\[
a^2 = (3x^2)^2 = 9x^4, \quad ab = 3x^2 \cdot 2 = 6x^2, \quad b^2 = 2^2 = 4
\]
Значит, вторая скобка действительно равна \( a^2 + ab + b^2 \).
Применяем формулу разности кубов:
\[
(3x^2 — 2)(9x^4 + 6x^2 + 4) = (3x^2)^3 — 2^3 = 27x^6 — 8
\]
Следовательно, \( (3x^2 — 2)(9x^4 + 6x^2 + 4) = 27x^6 — 8 \).
б) \( (5x^2 + 3)(25x^4 — 15x^2 + 9) \)
Здесь видим произведение вида \( (a + b)(a^2 — ab + b^2) \), что соответствует формуле суммы кубов:
\[
(a + b)(a^2 — ab + b^2) = a^3 + b^3
\]
Пусть \( a = 5x^2 \), \( b = 3 \).
Проверим вторую скобку:
\[
a^2 = (5x^2)^2 = 25x^4, \quad ab = 5x^2 \cdot 3 = 15x^2, \quad b^2 = 3^2 = 9
\]
Тогда \( a^2 — ab + b^2 = 25x^4 — 15x^2 + 9 \) — совпадает.
Применяем формулу суммы кубов:
\[
(5x^2 + 3)(25x^4 — 15x^2 + 9) = (5x^2)^3 + 3^3 = 125x^6 + 27
\]
Таким образом, \( (5x^2 + 3)(25x^4 — 15x^2 + 9) = 125x^6 + 27 \).
в) \( (8b^2 + 3)(64b^4 — 24b^2 + 9) \)
Снова распознаём формулу суммы кубов:
\[
(a + b)(a^2 — ab + b^2) = a^3 + b^3
\]
Пусть \( a = 8b^2 \), \( b = 3 \).
Проверим:
\[
a^2 = (8b^2)^2 = 64b^4, \quad ab = 8b^2 \cdot 3 = 24b^2, \quad b^2 = 9
\]
Тогда \( a^2 — ab + b^2 = 64b^4 — 24b^2 + 9 \) — верно.
Применяем формулу:
\[
(8b^2 + 3)(64b^4 — 24b^2 + 9) = (8b^2)^3 + 3^3 = 512b^6 + 27
\]
Итак, \( (8b^2 + 3)(64b^4 — 24b^2 + 9) = 512b^6 + 27 \).
г) \( (7a^2 — 1)(49a^4 + 7a^2 + 1) \)
Здесь применима формула разности кубов:
\[
(a — b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 — b^3
\]
Пусть \( a = 7a^2 \), \( b = 1 \).
Проверим вторую скобку:
\[
a^2 = (7a^2)^2 = 49a^4, \quad ab = 7a^2 \cdot 1 = 7a^2, \quad b^2 = 1^2 = 1
\]
Получаем \( a^2 + ab + b^2 = 49a^4 + 7a^2 + 1 \) — совпадает.
Применяем формулу:
\[
(7a^2 — 1)(49a^4 + 7a^2 + 1) = (7a^2)^3 — 1^3 = 343a^6 — 1
\]
Следовательно, \( (7a^2 — 1)(49a^4 + 7a^2 + 1) = 343a^6 — 1 \).
Ответы:
а) \( 27x^6 — 8 \)
б) \( 125x^6 + 27 \)
в) \( 512b^6 + 27 \)
г) \( 343a^6 — 1 \)
