Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.54 Мордкович — Подробные Ответы
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида (выполните умножение и упростите):
а) \( (x — 2)^2 (x + 2)^2 \)
б) \( (y — 4)^2 (y + 4) \)
в) \( (m — 6)^2 (m + 6)^2 \)
г) \( (n — 7)^2 (7 + n) \)
а) (x – 2)²(x + 2)² = (x² – 4)² = x⁴ – 8x² + 16.
б) (y – 4)²(y + 4) = (y – 4)(y + 4)(y – 4) = (y² – 16)(y – 4) = y³ – 4y² – 16y + 64.
в) (m – 6)²(m + 6)² = (m² – 36)² = m⁴ – 72m² + 1296.
г) (n – 7)²(7 + n) = (n – 7)(n – 7)(n + 7) = (n² – 49)(n – 7) = n³ – 7n² – 49n + 343.
а)
\[
(x — 2)^2(x + 2)^2
\]
Заметим, что оба множителя возводятся в квадрат, поэтому можно сгруппировать их как квадрат произведения:
\[
(x — 2)^2(x + 2)^2 = \bigl((x — 2)(x + 2)\bigr)^2.
\]
Теперь применим формулу разности квадратов:
\[
(x — 2)(x + 2) = x^2 — 4.
\]
Следовательно:
\[
\bigl(x^2 — 4\bigr)^2 = (x^2)^2 — 2 \cdot x^2 \cdot 4 + 4^2 = x^4 — 8x^2 + 16.
\]
б)
\[
(y — 4)^2(y + 4)
\]
Перепишем квадрат как произведение двух одинаковых множителей:
\[
(y — 4)^2(y + 4) = (y — 4)(y — 4)(y + 4).
\]
Сгруппируем два множителя так, чтобы можно было применить разность квадратов:
\[
(y — 4)(y + 4) = y^2 — 16.
\]
Теперь выражение принимает вид:
\[
(y^2 — 16)(y — 4).
\]
Раскроем скобки, умножая каждый член первой скобки на каждый член второй:
\[
y^2 \cdot y = y^3, \quad y^2 \cdot (-4) = -4y^2,
\]
\[
-16 \cdot y = -16y, \quad -16 \cdot (-4) = +64.
\]
Сложим результаты:
\[
y^3 — 4y^2 — 16y + 64.
\]
в)
\[
(m — 6)^2(m + 6)^2
\]
Аналогично пункту (а), объединим в квадрат произведения:
\[
\bigl((m — 6)(m + 6)\bigr)^2.
\]
Применим разность квадратов:
\[
(m — 6)(m + 6) = m^2 — 36.
\]
Теперь возведём в квадрат:
\[
(m^2 — 36)^2 = (m^2)^2 — 2 \cdot m^2 \cdot 36 + 36^2 = m^4 — 72m^2 + 1296.
\]
г)
\[
(n — 7)^2(7 + n)
\]
Перепишем в более удобном порядке (учитывая, что \(7 + n = n + 7\)):
\[
(n — 7)^2(n + 7) = (n — 7)(n — 7)(n + 7).
\]
Сгруппируем \((n — 7)(n + 7)\):
\[
(n — 7)(n + 7) = n^2 — 49.
\]
Теперь умножим на оставшийся множитель \((n — 7)\):
\[
(n^2 — 49)(n — 7).
\]
Раскроем скобки:
\[
n^2 \cdot n = n^3, \quad n^2 \cdot (-7) = -7n^2,
\]
\[
-49 \cdot n = -49n, \quad -49 \cdot (-7) = +343.
\]
Суммируем:
\[
n^3 — 7n^2 — 49n + 343.
\]
Ответы:
а) \( x^4 — 8x^2 + 16 \)
б) \( y^3 — 4y^2 — 16y + 64 \)
в) \( m^4 — 72m^2 + 1296 \)
г) \( n^3 — 7n^2 — 49n + 343 \)
