Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.55 Мордкович — Подробные Ответы
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида (выполните умножение и упростите):
а) \( (x — y)(x + y)(x^2 + y^2) \)
б) \( (3a — b)(3a + b)(9a^2 + b^2) \)
в) \( (p^3 + q)(p^3 — q)(p^6 + q^2) \)
г) \( (s^4 + r^4)(s — r)(s + r)(s^2 + r^2) \)
а) (x – y)(x + y)(x² + y²) = (x² – y²)(x² + y²) = x⁴ – y⁴.
б) (3a – b)(3a + b)(9a² + b²) = (9a² – b²)(9a² + b²) = 81a⁴ – b⁴.
в) (p³ + q)(p³ – q)(p⁶ + q²) = (p⁶ – q²)(p⁶ + q²) = p¹² – q⁴.
г) (s⁴ + r⁴)(s – r)(s + r)(s² + r²) = (s⁴ + r⁴)(s² – r²)(s² + r²) = (s⁴ + r⁴)(s⁴ – r⁴) = s⁸ – r⁸.
Рассмотрим каждое выражение и последовательно упростим его, многократно применяя формулу разности квадратов:
\[
(A — B)(A + B) = A^2 — B^2.
\]
а)
\[
(x — y)(x + y)(x^2 + y^2)
\]
Сначала умножим первые два множителя:
\[
(x — y)(x + y) = x^2 — y^2.
\]
Теперь умножим результат на третий множитель:
\[
(x^2 — y^2)(x^2 + y^2).
\]
Это снова разность квадратов, где \(A = x^2\), \(B = y^2\):
\[
(x^2)^2 — (y^2)^2 = x^4 — y^4.
\]
б)
\[
(3a — b)(3a + b)(9a^2 + b^2)
\]
Первые два множителя образуют разность квадратов:
\[
(3a — b)(3a + b) = (3a)^2 — b^2 = 9a^2 — b^2.
\]
Теперь умножим на третий множитель:
\[
(9a^2 — b^2)(9a^2 + b^2).
\]
Снова применяем формулу разности квадратов, где \(A = 9a^2\), \(B = b^2\):
\[
(9a^2)^2 — (b^2)^2 = 81a^4 — b^4.
\]
в)
\[
(p^3 + q)(p^3 — q)(p^6 + q^2)
\]
Первые два множителя:
\[
(p^3 + q)(p^3 — q) = (p^3)^2 — q^2 = p^6 — q^2.
\]
Теперь умножаем на третий множитель:
\[
(p^6 — q^2)(p^6 + q^2) = (p^6)^2 — (q^2)^2 = p^{12} — q^4.
\]
г)
\[
(s^4 + r^4)(s — r)(s + r)(s^2 + r^2)
\]
Сначала упростим произведение \((s — r)(s + r)\):
\[
(s — r)(s + r) = s^2 — r^2.
\]
Теперь запишем всё выражение в новом порядке (умножение коммутативно):
\[
(s^4 + r^4)(s^2 — r^2)(s^2 + r^2).
\]
Заметим, что \((s^2 — r^2)(s^2 + r^2) = s^4 — r^4\) — снова разность квадратов.
Теперь выражение принимает вид:
\[
(s^4 + r^4)(s^4 — r^4).
\]
Это опять разность квадратов, где \(A = s^4\), \(B = r^4\):
\[
(s^4)^2 — (r^4)^2 = s^8 — r^8.
\]
Ответы:
а) \( x^4 — y^4 \)
б) \( 81a^4 — b^4 \)
в) \( p^{12} — q^4 \)
г) \( s^8 — r^8 \)
