ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.56 Мордкович — Подробные Ответы

Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида (упростите, используя формулы сокращенного умножения):

а) \( (3x^2 + 4)^2 + (3x^2 — 4)^2 — 2(3x^2 + 4)(3x^2 — 4) \)
б) \( p(p — 2c)(p + 2c) — (p — c)(p^2 + pc + c^2) \)
в) \( (4a^3 + 5)^2 + (4a^3 — 1)^2 + 2(4a^3 + 5)(4a^3 — 1) \)
г) \( m(2m — 1)^2 — 2(m + 1)(m^2 — m + 1) \)

а) \( (3x^2 + 4)^2 + (3x^2 — 4)^2 — 2(3x^2 + 4)(3x^2 — 4) = \)
\( = 9x^4 + 24x^2 + 16 + 9x^4 — 24x^2 + 16 — 2(9x^4 — 16) = \)
\( = 18x^4 + 32 — 18x^4 + 32 = 64 \).

б) \( p(p — 2c)(p + 2c) — (p — c)(p^2 + pc + c^2) = p(p^2 — 4c^2) — (p^3 — c^3)\)

\(= p^3 — 4pc^2 — p^3 + c^3 = c^3 — 4pc^2 \).

в) \( (4a^3 + 5)^2 + (4a^3 — 1)^2 + 2(4a^3 + 5)(4a^3 — 1) = \)
\( = 16a^6 + 40a^3 + 25 + 16a^6 — 8a^3 + 1 + 2(16a^6 — 4a^3 + 20a^3 — 5) = \)
\( = 32a^6 + 32a^3 + 26 + 32a^6 + 32a^3 — 10 = 64a^6 + 64a^3 + 16 \).

г) \( m(2m — 1)^2 — 2(m + 1)(m^2 — m + 1) = m(4m^2 — 4m + 1) — 2(m^3 + 1)\)

\(= 4m^3 — 4m^2 + m — 2m^3 — 2 = 2m^3 — 4m^2 + m — 2 \).

а) \( (3x^2 + 4)^2 + (3x^2 — 4)^2 — 2(3x^2 + 4)(3x^2 — 4) \)

Заметим, что выражение имеет вид:
\[
A^2 + B^2 — 2AB = (A — B)^2
\]

где \( A = 3x^2 + 4 \), \( B = 3x^2 — 4 \).
Тогда:

\[
A — B = (3x^2 + 4) — (3x^2 — 4) = 3x^2 + 4 — 3x^2 + 4 = 8
\]

Следовательно,

\[
(A — B)^2 = 8^2 = 64
\]

Но для полноты решения выполним раскрытие по частям.

Раскроем первый квадрат:
\[
(3x^2 + 4)^2 = (3x^2)^2 + 2 \cdot 3x^2 \cdot 4 + 4^2 = 9x^4 + 24x^2 + 16
\]

Раскроем второй квадрат:
\[
(3x^2 — 4)^2 = (3x^2)^2 — 2 \cdot 3x^2 \cdot 4 + 4^2 = 9x^4 — 24x^2 + 16
\]

Раскроем произведение в третьем слагаемом как разность квадратов:

\[
(3x^2 + 4)(3x^2 — 4) = (3x^2)^2 — 4^2 = 9x^4 — 16
\]

Умножим на 2:

\[
2(9x^4 — 16) = 18x^4 — 32
\]

Теперь подставим всё в исходное выражение:

\[
(9x^4 + 24x^2 + 16) + (9x^4 — 24x^2 + 16) — (18x^4 — 32)
\]

Раскроем скобки:

\[
9x^4 + 24x^2 + 16 + 9x^4 — 24x^2 + 16 — 18x^4 + 32
\]

Приведём подобные:
— \( x^4 \): \( 9 + 9 — 18 = 0 \)
— \( x^2 \): \( 24 — 24 = 0 \)
— свободные члены: \( 16 + 16 + 32 = 64 \)

Получаем:
\[
64
\]

Следовательно, значение выражения равно \( 64 \).

б) \( p(p — 2c)(p + 2c) — (p — c)(p^2 + pc + c^2) \)

В первом слагаемом сначала упростим произведение двух скобок:
\[
(p — 2c)(p + 2c) = p^2 — (2c)^2 = p^2 — 4c^2
\]

Теперь умножим на \( p \):

\[
p(p^2 — 4c^2) = p^3 — 4pc^2
\]

Во втором слагаемом — это формула разности кубов:
\[
(p — c)(p^2 + pc + c^2) = p^3 — c^3
\]

Подставим оба результата в исходное выражение, не забывая про минус перед вторым слагаемым:
\[
(p^3 — 4pc^2) — (p^3 — c^3) = p^3 — 4pc^2 — p^3 + c^3
\]

Приведём подобные:
\( p^3 — p^3 = 0 \), остаётся:
\[
c^3 — 4pc^2
\]

Таким образом, выражение равно \( c^3 — 4pc^2 \).

в) \( (4a^3 + 5)^2 + (4a^3 — 1)^2 + 2(4a^3 + 5)(4a^3 — 1) \)

Заметим, что выражение имеет вид:
\[
A^2 + B^2 + 2AB = (A + B)^2
\]

где \( A = 4a^3 + 5 \), \( B = 4a^3 — 1 \).
Тогда:

\[
A + B = (4a^3 + 5) + (4a^3 — 1) = 8a^3 + 4
\]

Возведём в квадрат:

\[
(8a^3 + 4)^2 = (8a^3)^2 + 2 \cdot 8a^3 \cdot 4 + 4^2 = 64a^6 + 64a^3 + 16
\]

Но выполним раскрытие по частям для полноты.

Первый квадрат:
\[
(4a^3 + 5)^2 = (4a^3)^2 + 2 \cdot 4a^3 \cdot 5 + 5^2 = 16a^6 + 40a^3 + 25
\]

Второй квадрат:

\[
(4a^3 — 1)^2 = (4a^3)^2 — 2 \cdot 4a^3 \cdot 1 + 1^2 = 16a^6 — 8a^3 + 1
\]

Произведение:
\[
(4a^3 + 5)(4a^3 — 1) = 4a^3 \cdot 4a^3 + 4a^3 \cdot (-1) + 5 \cdot 4a^3 + 5 \cdot (-1)\)

\(= 16a^6 — 4a^3 + 20a^3 — 5 = 16a^6 + 16a^3 — 5
\]

Умножим на 2:

\[
2(16a^6 + 16a^3 — 5) = 32a^6 + 32a^3 — 10
\]

Теперь сложим все три части:
\[
(16a^6 + 40a^3 + 25) + (16a^6 — 8a^3 + 1) + (32a^6 + 32a^3 — 10)
\]

Сложим коэффициенты:
— \( a^6 \): \( 16 + 16 + 32 = 64 \) → \( 64a^6 \)
— \( a^3 \): \( 40 — 8 + 32 = 64 \) → \( 64a^3 \)
— свободные члены: \( 25 + 1 — 10 = 16 \)

Итого:
\[
64a^6 + 64a^3 + 16
\]

Следовательно, выражение равно \( 64a^6 + 64a^3 + 16 \).

\( m(2m — 1)^2 — 2(m + 1)(m^2 — m + 1) \)

Сначала раскроем квадрат:
\[
(2m — 1)^2 = (2m)^2 — 2 \cdot 2m \cdot 1 + 1^2 = 4m^2 — 4m + 1
\]

Умножим на \( m \):

\[
m(4m^2 — 4m + 1) = 4m^3 — 4m^2 + m
\]

Во втором слагаемом — формула суммы кубов:
\[
(m + 1)(m^2 — m + 1) = m^3 + 1
\]

Умножим на 2:

\[
2(m^3 + 1) = 2m^3 + 2
\]

Подставим в исходное выражение, учитывая минус перед вторым слагаемым:
\[
(4m^3 — 4m^2 + m) — (2m^3 + 2) = 4m^3 — 4m^2 + m — 2m^3 — 2
\]

Приведём подобные:
— \( m^3 \): \( 4 — 2 = 2 \) → \( 2m^3 \)
— \( m^2 \): \( -4m^2 \)
— \( m \): \( +m \)
— свободный член: \( -2 \)

Получаем:
\[
2m^3 — 4m^2 + m — 2
\]

Следовательно, выражение равно \( 2m^3 — 4m^2 + m — 2 \).

Ответы:

а) \( 64 \)
б) \( c^3 — 4pc^2 \)
в) \( 64a^6 + 64a^3 + 16 \)
г) \( 2m^3 — 4m^2 + m — 2 \)