Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.57 Мордкович — Подробные Ответы
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а) \( (a — b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8) \)
б) \( x^{32} — (x — 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1) \)
а) (a – b)(a + b)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸) =
= (a² – b²)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸) =
= (a⁴ – b⁴)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸) = (a⁸ – b⁸)(a⁸ + b⁸) = a¹⁶ – b¹⁶.
б) x³² – (x – 1)(x + 1)(x² + 1)(x⁴ + 1)(x⁸ + 1)(x¹⁶ + 1) =
= x³² – (x² – 1)(x² + 1)(x⁴ + 1)(x⁸ + 1)(x¹⁶ + 1) =
= x³² – (x⁴ – 1)(x⁴ + 1)(x⁸ + 1)(x¹⁶ + 1) =
= x³² – (x⁸ – 1)(x⁸ + 1)(x¹⁶ + 1) =
= x³² – (x¹⁶ – 1)(x¹⁶ + 1) =
= x³² – (x³² – 1) = x³² – x³² + 1 = 1.
Рассмотрим каждое выражение и подробно проследим цепочку последовательных упрощений, многократно применяя формулу разности квадратов:
\[
(A — B)(A + B) = A^2 — B^2.
\]
а)
\[
(a — b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8)
\]
Шаг 1.Умножим первые два множителя:
\[
(a — b)(a + b) = a^2 — b^2.
\]
Теперь выражение принимает вид:
\[
(a^2 — b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8).
\]
Шаг 2. Умножим первые два множителя в новом выражении:
\[
(a^2 — b^2)(a^2 + b^2) = a^4 — b^4.
\]
Получаем:
\[
(a^4 — b^4)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8).
\]
Шаг 3. Снова применим разность квадратов:
\[
(a^4 — b^4)(a^4 + b^4) = a^8 — b^8.
\]
Выражение упрощается до:
\[
(a^8 — b^8)(a^8 + b^8).
\]
Шаг 4. Последнее применение формулы:
\[
(a^8 — b^8)(a^8 + b^8) = a^{16} — b^{16}.
\]
Таким образом, всё произведение сворачивается в разность шестнадцатых степеней.
б)
\[
x^{32} — (x — 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)
\]
Шаг 1. Рассмотрим произведение после знака «минус». Начнём с первых двух скобок:
\[
(x — 1)(x + 1) = x^2 — 1.
\]
Теперь выражение внутри вычитания:
\[
(x^2 — 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1).
\]
Шаг 2. Умножим первые два множителя:
\[
(x^2 — 1)(x^2 + 1) = x^4 — 1.
\]
Получаем:
\[
(x^4 — 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1).
\]
Шаг 3. Применим разность квадратов снова:
\[
(x^4 — 1)(x^4 + 1) = x^8 — 1.
\]
Выражение становится:
\[
(x^8 — 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1).
\]
Шаг 4. Ещё раз:
\[
(x^8 — 1)(x^8 + 1) = x^{16} — 1.
\]
Остаётся:
\[
(x^{16} — 1)(x^{16} + 1) = x^{32} — 1.
\]
Шаг 5.Вернёмся к исходному выражению:
\[
x^{32} — \bigl(x^{32} — 1\bigr) = x^{32} — x^{32} + 1 = 1.
\]
Ответы:
а) \( a^{16} — b^{16} \)
б) \( 1 \)
