ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.58 Мордкович — Подробные Ответы

Замените символы \(*\) одночленами так, чтобы выполнялось равенство:

а) \((6a^5 + *)^2 = * + * + 25x^2\)
б) \((10m^5 + *)^2 = * + * + 36m^4n^6\)
в) \((* — 4x^7)^2 = 25x^4y^2 — * + *\)
г) \((8a^3 — *)^2 = * — * + 49a^8b^6\)

а) (6a⁵ + *)² = * + * + 25x²
(6a⁵ + 5x)² = 36a¹⁰ + 60a⁵x + 25x².

б) (10m⁵ + *)² = * + * + 36m⁴n⁶
(10m⁵ + 6m²n³)² = 100m¹⁰ + 120m⁷n³ + 36m⁴n⁶.

в) (* – 4x⁷)² = 25x⁴y² – * + *
(5x²y – 4x⁷)² = 25x⁴y² – 40x⁹y + 16x¹⁴.

г) (8a³ – *)² = * – * + 49a⁸b⁶
(8a³ – 7a⁴b³)² = 64a⁶ – 112a⁷b³ + 49a⁸b⁶.

Рассмотрим каждое задание и восстановим пропущенные части, используя формулу квадрата суммы или разности:

\[
(A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2.
\]

В каждом случае сначала определим неизвестный член (обозначенный звёздочкой), а затем полностью запишем и проверим разложение.

а)
Дано:
\[
(6a^5 + *)^2 = * + * + 25x^2.
\]

Из последнего слагаемого \(25x^2\) видим, что это квадрат второго слагаемого в скобке, так как \(B^2 = 25x^2\), откуда
\[
B = 5x \quad (\text{берём положительный корень, так как знак «+»}).
\]

Тогда всё выражение:

\[
(6a^5 + 5x)^2.
\]

Теперь раскроем по формуле:

— \(A^2 = (6a^5)^2 = 36a^{10}\),
— \(2AB = 2 \cdot 6a^5 \cdot 5x = 60a^5x\),
— \(B^2 = (5x)^2 = 25x^2\).

Итак:
\[
(6a^5 + 5x)^2 = 36a^{10} + 60a^5x + 25x^2.
\]

б)
Дано:
\[
(10m^5 + *)^2 = * + * + 36m^4n^6.
\]

Последнее слагаемое — \(B^2 = 36m^4n^6\). Извлечём квадратный корень:

\[
B = \sqrt{36m^4n^6} = 6m^2n^3.
\]

Значит, выражение:

\[
(10m^5 + 6m^2n^3)^2.
\]

Раскрываем:

— \(A^2 = (10m^5)^2 = 100m^{10}\),
— \(2AB = 2 \cdot 10m^5 \cdot 6m^2n^3 = 120m^{7}n^3\),
— \(B^2 = (6m^2n^3)^2 = 36m^4n^6\).

Получаем:
\[
(10m^5 + 6m^2n^3)^2 = 100m^{10} + 120m^7n^3 + 36m^4n^6.
\]

в)
Дано:
\[
(* — 4x^7)^2 = 25x^4y^2 — * + *.
\]

Первое слагаемое — квадрат первого члена: \(A^2 = 25x^4y^2\). Тогда:

\[
A = \sqrt{25x^4y^2} = 5x^2y.
\]

Следовательно, выражение:

\[
(5x^2y — 4x^7)^2.
\]

Раскрываем:

— \(A^2 = (5x^2y)^2 = 25x^4y^2\),
— \(2AB = 2 \cdot 5x^2y \cdot 4x^7 = 40x^9y\), но так как формула для разности: \((A — B)^2 = A^2 — 2AB + B^2\), то средний член будет \(-40x^9y\),
— \(B^2 = (4x^7)^2 = 16x^{14}\).

Итак:
\[
(5x^2y — 4x^7)^2 = 25x^4y^2 — 40x^9y + 16x^{14}.
\]

г)
Дано:
\[
(8a^3 — *)^2 = * — * + 49a^8b^6.
\]

Последнее слагаемое — \(B^2 = 49a^8b^6\), откуда:

\[
B = \sqrt{49a^8b^6} = 7a^4b^3.
\]

Значит, исходное выражение:

\[
(8a^3 — 7a^4b^3)^2.
\]

Раскрываем:

— \(A^2 = (8a^3)^2 = 64a^6\),
— \(2AB = 2 \cdot 8a^3 \cdot 7a^4b^3 = 112a^7b^3\), а так как это разность, то средний член: \(-112a^7b^3\),
— \(B^2 = (7a^4b^3)^2 = 49a^8b^6\).

Получаем:
\[
(8a^3 — 7a^4b^3)^2 = 64a^6 — 112a^7b^3 + 49a^8b^6.
\]

Ответы:
а) \( (6a^5 + 5x)^2 = 36a^{10} + 60a^5x + 25x^2 \)
б) \( (10m^5 + 6m^2n^3)^2 = 100m^{10} + 120m^7n^3 + 36m^4n^6 \)
в) \( (5x^2y — 4x^7)^2 = 25x^4y^2 — 40x^9y + 16x^{14} \)
г) \( (8a^3 — 7a^4b^3)^2 = 64a^6 — 112a^7b^3 + 49a^8b^6 \)