ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.60 Мордкович — Подробные Ответы

Замените символы \(*\) одночленами так, чтобы выполнялось равенство:

а) \((* + *)^2 = * + 70b^3c + 49c^2\)
б) \((* — *)^2 = 81x^2 — * + 100x^4y^6\)
в) \((* + *)^2 = * + 70x^3y^2 + *\)
г) \((* — *)^2 = * — 48c^5d^3 + *\)

а) (* + *)² = * + 70b³c + 49c²
(5b³ + 7c)² = 25b⁶ + 70b³c + 49c².

б) (* – *)² = 81x² – * + 100x⁴y⁶
(9x – 10x²y³)² = 81x² – 180x³y³ + 100x⁴y⁶.

в) (* + *)² = * + 70x³y² + *
(5x³ + 7y²)² = 25x⁶ + 70x³y² + 49y⁴.

г) (* – *)² = * – 48c⁵d³ + *
(6c⁵ – 4d³)² = 36c¹⁰ – 48c⁵d³ + 16d⁶.

Рассмотрим каждое задание и восстановим пропущенные слагаемые, используя формулу квадрата суммы или разности:

\[
(A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2.
\]

Во всех случаях известны некоторые члены развёрнутого выражения, что позволяет однозначно определить оба слагаемых в скобках.

а)
Дано:
\[
(* + *)^2 = * + 70b^3c + 49c^2.
\]

Из последнего слагаемого видим, что \(B^2 = 49c^2\), откуда \(B = 7c\).
Средний член равен \(2AB = 70b^3c\). Подставим \(B = 7c\):

\[
2A \cdot 7c = 70b^3c \quad \Rightarrow \quad 14A c = 70b^3c.
\]

Разделим обе части на \(14c\) (при \(c \ne 0\)):

\[
A = 5b^3.
\]

Таким образом, выражение:

\[
(5b^3 + 7c)^2.
\]

Раскроем полностью:

— \(A^2 = (5b^3)^2 = 25b^6\),
— \(2AB = 2 \cdot 5b^3 \cdot 7c = 70b^3c\),
— \(B^2 = (7c)^2 = 49c^2\).

Получаем:
\[
(5b^3 + 7c)^2 = 25b^6 + 70b^3c + 49c^2.
\]

б)
Дано:
\[
(* — *)^2 = 81x^2 — * + 100x^4y^6.
\]

Первый член: \(A^2 = 81x^2 \Rightarrow A = 9x\).
Последний член: \(B^2 = 100x^4y^6 \Rightarrow B = 10x^2y^3\) (берём положительный корень, так как знак уже учтён в «минусе»).

Выражение:

\[
(9x — 10x^2y^3)^2.
\]

Раскрываем:

— \(A^2 = (9x)^2 = 81x^2\),
— \(2AB = 2 \cdot 9x \cdot 10x^2y^3 = 180x^3y^3\), а так как это разность, то средний член: \(-180x^3y^3\),
— \(B^2 = (10x^2y^3)^2 = 100x^4y^6\).

Итак:
\[
(9x — 10x^2y^3)^2 = 81x^2 — 180x^3y^3 + 100x^4y^6.
\]

в)
Дано:
\[
(* + *)^2 = * + 70x^3y^2 + *.
\]

Средний член: \(2AB = 70x^3y^2\).
Предположим, что \(A = px^3\), \(B = qy^2\), тогда \(2AB = 2pq x^3y^2 = 70x^3y^2\), откуда \(2pq = 70 \Rightarrow pq = 35\).

Кроме того, квадраты должны быть целыми и красивыми. Часто в таких задачах берут \(p = 5\), \(q = 7\) (или наоборот), так как \(5 \cdot 7 = 35\).

Проверим:
\(A = 5x^3\), \(B = 7y^2\).

Тогда:

— \(A^2 = 25x^6\),
— \(2AB = 2 \cdot 5x^3 \cdot 7y^2 = 70x^3y^2\),
— \(B^2 = 49y^4\).

Следовательно:
\[
(5x^3 + 7y^2)^2 = 25x^6 + 70x^3y^2 + 49y^4.
\]

г)
Дано:
\[
(* — *)^2 = * — 48c^5d^3 + *.
\]

Средний член: \(-2AB = -48c^5d^3 \Rightarrow 2AB = 48c^5d^3\).

Предположим, что \(A = mc^5\), \(B = nd^3\). Тогда:

\[
2AB = 2mn c^5d^3 = 48c^5d^3 \Rightarrow 2mn = 48 \Rightarrow mn = 24.
\]

Подбираем целые \(m, n\), чтобы квадраты были «хорошими». Возьмём \(m = 6\), \(n = 4\) (так как \(6 \cdot 4 = 24\)).

Тогда:

— \(A = 6c^5\), \(B = 4d^3\),
— \(A^2 = 36c^{10}\),
— \(2AB = 2 \cdot 6c^5 \cdot 4d^3 = 48c^5d^3\), а в квадрате разности — \(-48c^5d^3\),
— \(B^2 = (4d^3)^2 = 16d^6\).

Получаем:
\[
(6c^5 — 4d^3)^2 = 36c^{10} — 48c^5d^3 + 16d^6.
\]

Ответы:
а) \( (5b^3 + 7c)^2 = 25b^6 + 70b^3c + 49c^2 \)
б) \( (9x — 10x^2y^3)^2 = 81x^2 — 180x^3y^3 + 100x^4y^6 \)
в) \( (5x^3 + 7y^2)^2 = 25x^6 + 70x^3y^2 + 49y^4 \)
г) \( (6c^5 — 4d^3)^2 = 36c^{10} — 48c^5d^3 + 16d^6 \)