Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.62 Мордкович — Подробные Ответы
Замените символы \(*\) одночленами так, чтобы выполнялось равенство:
а) \((* — 10z^2)(* + *) = 0{,}49x^6 — *\)
б) \((* + *)(7p^6 — *) = * — \frac{16q^4}{121}\)
в) \(\left(\frac{1}{4}x^7 — *\right)(* + *) = * — 64y z^{10}\)
г) \((* — *)^2 = * — 60a^4 x^2 + *\)
а) \( (* — 10z^2)( * + *) = 0{,}49x^6 — * \)
\( (0{,}7x^3 — 10z^2)(0{,}7x^3 + 10z^2) = 0{,}49x^6 — 100z^4 \).
б) \( (* + *)(* — *) = * — \frac{16}{121}q^4 \)
\( \left(7p^6 + \frac{4}{11}q^2\right)\left(7p^6 — \frac{4}{11}q^2\right) = 49p^{12} — \frac{16}{121}q^4 \).
в) \( \left(1\frac{3}{4}x^7 — *\right)( * + *) = * — 64y^4z^{10} \)
\( \left(1\frac{3}{4}x^7 — 8y^2z^5\right)\left(1\frac{3}{4}x^7 + 8y^2z^5\right) = \left(\frac{7}{4}x^7\right)^2 — 64y^4z^{10}= \frac{49}{16}x^{14} — 64y^4z^{10}\)
\(= 3\frac{1}{16}x^{14} — 64y^4z^{10} \).
г) \( (* — *)^2 = * — 60a^4x^2 + * \)
\( (6a^4 — 5x^2)^2 = 36a^8 — 60a^4x^2 + 25x^4 \).
а) \( (* — 10z^2)( * + *) = 0{,}49x^6 — * \)
Правая часть имеет вид разности квадратов: \( A^2 — B^2 \).
Заметим, что \( 0{,}49x^6 = (0{,}7x^3)^2 \), так как \( 0{,}7^2 = 0{,}49 \) и \( (x^3)^2 = x^6 \).
В левой части в первой скобке вычитается \( 10z^2 \), значит, это \( B = 10z^2 \), и тогда \( A = 0{,}7x^3 \).
Следовательно, вторая скобка должна быть \( (0{,}7x^3 + 10z^2) \), чтобы получилось \( (A — B)(A + B) \).
Квадрат второго слагаемого: \( (10z^2)^2 = 100z^4 \).
Подставим в формулу разности квадратов:
\[
(0{,}7x^3 — 10z^2)(0{,}7x^3 + 10z^2) = (0{,}7x^3)^2 — (10z^2)^2 = 0{,}49x^6 — 100z^4
\]
Таким образом, все пропущенные элементы восстановлены верно.
б) \( (* + *)(* — *) = * — \frac{16}{121}q^4 \)
Снова видим разность квадратов. Второе слагаемое в правой части: \( \frac{16}{121}q^4 = \left( \frac{4}{11}q^2 \right)^2 \), так как \( 4^2 = 16 \), \( 11^2 = 121 \), \( (q^2)^2 = q^4 \).
Значит, одно из оснований — \( \frac{4}{11}q^2 \).
Первая скобка содержит сумму, вторая — разность, следовательно, оба выражения должны быть одинаковыми по модулю.
Пусть первое основание — \( 7p^6 \), тогда его квадрат: \( (7p^6)^2 = 49p^{12} \).
Тогда левая часть: \( (7p^6 + \frac{4}{11}q^2)(7p^6 — \frac{4}{11}q^2) \).
Применяем формулу:
\[
(7p^6)^2 — \left( \frac{4}{11}q^2 \right)^2 = 49p^{12} — \frac{16}{121}q^4
\]
Все пропуски восстановлены корректно.
в) \( \left(1\frac{3}{4}x^7 — *\right)( * + *) = * — 64y^4z^{10} \)
Сначала приведём смешанное число к обыкновенной дроби:
\[
1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}
\]
Тогда первое выражение — \( \frac{7}{4}x^7 \).
Правая часть содержит \( 64y^4z^{10} \), что является квадратом:
\[
64y^4z^{10} = (8y^2z^5)^2, \quad \text{так как } 8^2 = 64,\ (y^2)^2 = y^4,\ (z^5)^2 = z^{10}
\]
Следовательно, второе основание — \( 8y^2z^5 \).
Тогда вторая скобка должна быть \( \left( \frac{7}{4}x^7 + 8y^2z^5 \right) \), чтобы получилась разность квадратов.
Квадрат первого основания:
\[
\left( \frac{7}{4}x^7 \right)^2 = \frac{49}{16}x^{14}
\]
Преобразуем в смешанное число: \( \frac{49}{16} = 3\frac{1}{16} \).
Применяем формулу:
\[
\left( \frac{7}{4}x^7 — 8y^2z^5 \right)\left( \frac{7}{4}x^7 + 8y^2z^5 \right) = \frac{49}{16}x^{14} — 64y^4z^{10} =\]
\[3\frac{1}{16}x^{14} — 64y^4z^{10}
\]
Все пропущенные части восстановлены верно.
г) \( (* — *)^2 = * — 60a^4x^2 + * \)
Это квадрат разности: \( (A — B)^2 = A^2 — 2AB + B^2 \).
Средний член: \( -60a^4x^2 = -2AB \), значит,
\[
2AB = 60a^4x^2 \quad \Rightarrow \quad AB = 30a^4x^2
\]
Предположим, что \( A = 6a^4 \), тогда
\[
B = \frac{30a^4x^2}{6a^4} = 5x^2
\]
Проверим квадраты:
\[
A^2 = (6a^4)^2 = 36a^8, \quad B^2 = (5x^2)^2 = 25x^4
\]
Тогда:
\[
(6a^4 — 5x^2)^2 = 36a^8 — 2 \cdot 6a^4 \cdot 5x^2 + 25x^4 = 36a^8 — 60a^4x^2 + 25x^4
\]
Совпадает с правой частью.
Следовательно, пропущенные выражения — \( 6a^4 \) и \( 5x^2 \).
Ответы:
а) \( (0{,}7x^3 — 10z^2)(0{,}7x^3 + 10z^2) = 0{,}49x^6 — 100z^4 \)
б) \( \left(7p^6 + \frac{4}{11}q^2\right)\left(7p^6 — \frac{4}{11}q^2\right) = 49p^{12} — \frac{16}{121}q^4 \)
в) \( \left(1\frac{3}{4}x^7 — 8y^2z^5\right)\left(1\frac{3}{4}x^7 + 8y^2z^5\right)\)
\(= 3\frac{1}{16}x^{14} — 64y^4z^{10} \)
г) \( (6a^4 — 5x^2)^2 = 36a^8 — 60a^4x^2 + 25x^4 \)
