Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.64 Мордкович — Подробные Ответы
Найдите значение числового выражения:
а) \( (2 — 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) — 2^{16} \)
б) \( 3(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) — 2^{32} \)
а) \( (2 — 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) — 2^{16} \)
= \( (2^2 — 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) — 2^{16} \)
= \( (2^4 — 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) — 2^{16} \)
= \( (2^8 — 1)(2^8 + 1) — 2^{16} \)
= \( 2^{16} — 1 — 2^{16} = -1 \)
б) \( 3(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) — 2^{32} \)
= \( (2^2 — 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^3 + 1)(2^{16} + 1) — 2^{32} \)
= \( (2^4 — 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) — 2^{32} \)
= \( (2^8 — 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) — 2^{32} \)
= \( (2^{16} — 1)(2^{16} + 1) — 2^{32} \)
= \( 2^{32} — 1 — 2^{32} = -1 \)
Таким образом, ответы:
а) \( -1 \)
б) \( -1 \)
а) \( (2 — 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) — 2^{16} \)
Начнём с первых двух множителей: \( (2 — 1)(2 + 1) \).
Это произведение вида \( (a — b)(a + b) \), которое по формуле разности квадратов равно \( a^2 — b^2 \).
Здесь \( a = 2 \), \( b = 1 \), поэтому:
\[
(2 — 1)(2 + 1) = 2^2 — 1^2 = 4 — 1 = 3
\]
Но более удобно оставить результат в показательной форме:
\[
(2 — 1)(2 + 1) = 2^2 — 1
\]
Теперь выражение принимает вид:
\[
(2^2 — 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) — 2^{16}
\]
Снова видим произведение \( (2^2 — 1)(2^2 + 1) \) — снова разность квадратов:
\[
(2^2 — 1)(2^2 + 1) = (2^2)^2 — 1^2 = 2^4 — 1
\]
Подставим:
\[
(2^4 — 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) — 2^{16}
\]
Аналогично, умножаем первые два множителя:
\[
(2^4 — 1)(2^4 + 1) = (2^4)^2 — 1 = 2^8 — 1
\]
Теперь выражение:
\[
(2^8 — 1)(2^8 + 1) — 2^{16}
\]
Опять применяем формулу разности квадратов:
\[
(2^8 — 1)(2^8 + 1) = (2^8)^2 — 1 = 2^{16} — 1
\]
Подставляем в исходное выражение:
\[
(2^{16} — 1) — 2^{16}
\]
Раскрываем скобки:
\[
2^{16} — 1 — 2^{16}
\]
Слагаемые \( 2^{16} \) и \( -2^{16} \) взаимно уничтожаются, остаётся:
\[
-1
\]
Следовательно, значение выражения равно \( -1 \).
б) \( 3(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) — 2^{32} \)
Заметим, что множитель \( 3 \) можно представить как \( 2^2 — 1 \), поскольку \( 2^2 = 4 \), и \( 4 — 1 = 3 \).
Это ключевой шаг, потому что тогда первые два множителя образуют разность квадратов.
Перепишем выражение:
\[
(2^2 — 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) — 2^{32}
\]
Теперь умножим первые два множителя:
\[
(2^2 — 1)(2^2 + 1) = (2^2)^2 — 1 = 2^4 — 1
\]
Выражение становится:
\[
(2^4 — 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) — 2^{32}
\]
Снова применяем разность квадратов к первым двум множителям:
\[
(2^4 — 1)(2^4 + 1) = (2^4)^2 — 1 = 2^8 — 1
\]
Теперь:
\[
(2^8 — 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) — 2^{32}
\]
Ещё раз применяем формулу:
\[
(2^8 — 1)(2^8 + 1) = (2^8)^2 — 1 = 2^{16} — 1
\]
Получаем:
\[
(2^{16} — 1)(2^{16} + 1) — 2^{32}
\]
И снова разность квадратов:
\[
(2^{16} — 1)(2^{16} + 1) = (2^{16})^2 — 1 = 2^{32} — 1
\]
Подставляем в исходное выражение:
\[
(2^{32} — 1) — 2^{32}
\]
Упрощаем:
\[
2^{32} — 1 — 2^{32} = -1
\]
Таким образом, значение выражения также равно \( -1 \).
Ответы:
а) \( -1 \)
б) \( -1 \)
