Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.65 Мордкович — Подробные Ответы
Докажите равенство:
\[
(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16}) = 0{,}2(3^{32} — 2^{32})
\]
\[
(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16}) = \frac{3^{32} — 2^{32}}{5}
\]
Доказательство:
\[
\frac{(3^2 — 2^2)(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})}{3^2 — 2^2}
\]
\[
= \frac{(3^4 — 2^4)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})}{3^2 — 2^2}
\]
\[
= \frac{(3^8 — 2^8)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})}{3^2 — 2^2}
\]
\[
= \frac{(3^{16} — 2^{16})(3^{16} + 2^{16})}{3^2 — 2^2}
\]
\[
= \frac{3^{32} — 2^{32}}{3^2 — 2^2}
\]
\[
3^2 — 2^2 = 9 — 4 = 5
\]
\[
\frac{3^{32} — 2^{32}}{5} = 0,2 \cdot (3^{32} — 2^{32})
\]
Равенство верно.
Рассмотрим выражение:
\[
(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})
\]
и докажем, что оно равно \(0{,}2\,(3^{32} — 2^{32})\), то есть \(\frac{1}{5}(3^{32} — 2^{32})\).
Шаг 1. Применение формулы разности квадратов
Вспомним, что:
\[
(A — B)(A + B) = A^2 — B^2.
\]
Эту формулу можно применять многократно. Чтобы «запустить» цепочку, домножим и разделим исходное выражение на \((3^2 — 2^2)\):
\[
(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})\]
\[=
\frac{(3^2 — 2^2)(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})}{3^2 — 2^2}.
\]
Это корректное преобразование, так как \(3^2 — 2^2 = 9 — 4 = 5 \ne 0\).
Шаг 2. Последовательное применение разности квадратов
Теперь упростим числитель пошагово:
1. \((3^2 — 2^2)(3^2 + 2^2) = 3^4 — 2^4\),
2. \((3^4 — 2^4)(3^4 + 2^4) = 3^8 — 2^8\),
3. \((3^8 — 2^8)(3^8 + 2^8) = 3^{16} — 2^{16}\),
4. \((3^{16} — 2^{16})(3^{16} + 2^{16}) = 3^{32} — 2^{32}\).
Таким образом, весь числитель сворачивается в \(3^{32} — 2^{32}\).
Шаг 3. Завершение упрощения
Теперь всё выражение принимает вид:
\[
\frac{3^{32} — 2^{32}}{3^2 — 2^2}.
\]
Вычислим знаменатель:
\[
3^2 — 2^2 = 9 — 4 = 5.
\]
Следовательно:
\[
(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16}) = \frac{3^{32} — 2^{32}}{5} = 0{,}2\,(3^{32} — 2^{32}).
\]
Шаг 4. Проверка логической цепочки
Все промежуточные преобразования корректны:
— \((3^2 — 2^2)(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16}) = 3^{32} — 2^{32}\),
— Деление на \(3^2 — 2^2 = 5\) даёт нужный коэффициент \( \frac{1}{5} = 0{,}2\),
— Равенство \(9 — 4 = 5\) верно,
— Тождество \(3^{32} — 2^{32} = 3^{32} — 2^{32}\) тривиально и подтверждает завершение цепочки.
Ответ:
\[
(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16}) = 0{,}2\,(3^{32} — 2^{32}).
\]
