ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 34.12 Мордкович — Подробные Ответы

Запишите пять не подобных между собой одночленов, на которые делится данный многочлен:

а) \( 4b^4c^5 — b^4c^4 + 13b^2c^6 \)
б) \( 12x^3y^4 — 16x^2y^3 + 24x^2y^2 \)
в) \( 5z^5m^7 — 25z^8m + 40z^{12}m^2 \)
г) \( 3{,}2k^2l^4 — 1{,}4k^3l^4 + 4{,}3kl^6 \)

а) \(4b^4c^5 — b^4c^4 + 13b^2c^6\) — делится на:
\(-bc^2\), \(-b^2c\), \(b^2c^2\), \(-b^3c\), \(bc^4\).

б) \(12x^3y^4 — 16x^2y^3 + 24x^2y^2\) — делится на:
\(2x\), \(-4y^2\), \(-2xy\), \(x^2y\), \(4x^2y^2\).

в) \(5z^5m^7 — 25z^8m + 40z^{12}m^2\) — делится на:
\(5zm\), \(z^2m\), \(-z^3\), \(-5z^3m\), \(z^4\).

г) \(3,2k^2l^4 — 1,4k^3l^4 + 4,3kl^6\) — делится на:
\(k\), \(-kl\), \(kl^2\), \(-l^3\), \(kl^4\).

Рассмотрим каждый многочлен и определим, на какие из предложенных одночленов он делится нацело, то есть так, чтобы результатом деления каждого члена был одночлен (без остатка и без отрицательных степеней переменных). Деление одночлена на одночлен выполняется почленно с использованием правила:

\[
\frac{a^m b^n}{a^p b^q} = a^{m-p} b^{n-q}, \quad \text{при } m \ge p,\ n \ge q.
\]

Если хотя бы для одного члена многочлена степень какой-либо переменной в делителе превышает её степень в этом члене, деление считается **некорректным** (многочлен не делится на этот одночлен).

а) Многочлен: \(4b^4c^5 — b^4c^4 + 13b^2c^6\)

Проверим каждый предложенный делитель:

— \(\frac{4b^4c^5}{-bc^2} = -4b^{3}c^{3}\), \(\frac{-b^4c^4}{-bc^2} = b^{3}c^{2}\), \(\frac{13b^2c^6}{-bc^2} = -13b c^{4}\) — все степени неотрицательны → делится.
— \(\frac{4b^4c^5}{-b^2c} = -4b^{2}c^{4}\), \(\frac{-b^4c^4}{-b^2c} = b^{2}c^{3}\), \(\frac{13b^2c^6}{-b^2c} = -13c^{5}\) — делится.
— \(\frac{4b^4c^5}{b^2c^2} = 4b^{2}c^{3}\), \(\frac{-b^4c^4}{b^2c^2} = -b^{2}c^{2}\), \(\frac{13b^2c^6}{b^2c^2} = 13c^{4}\) — делится.
— \(\frac{4b^4c^5}{-b^3c} = -4b c^{4}\), \(\frac{-b^4c^4}{-b^3c} = b c^{3}\), \(\frac{13b^2c^6}{-b^3c} = -13b^{-1}c^{5}\) — появляется \(b^{-1}\) → **не делится**.
— \(\frac{4b^4c^5}{bc^4} = 4b^{3}c\), \(\frac{-b^4c^4}{bc^4} = -b^{3}\), \(\frac{13b^2c^6}{bc^4} = 13b c^{2}\) — делится.

Таким образом, многочлен делится на: \(-bc^2\), \(-b^2c\), \(b^2c^2\), \(bc^4\),
но не делится на \(-b^3c\).

б) Многочлен: \(12x^3y^4 — 16x^2y^3 + 24x^2y^2\)

Проверим делители:

— \(\frac{12x^3y^4}{2x} = 6x^2y^4\), \(\frac{-16x^2y^3}{2x} = -8x y^3\), \(\frac{24x^2y^2}{2x} = 12x y^2\) — делится.
— \(\frac{12x^3y^4}{-4y^2} = -3x^3y^2\), \(\frac{-16x^2y^3}{-4y^2} = 4x^2y\), \(\frac{24x^2y^2}{-4y^2} = -6x^2\) — делится.
— \(\frac{12x^3y^4}{-2xy} = -6x^2y^3\), \(\frac{-16x^2y^3}{-2xy} = 8x y^2\), \(\frac{24x^2y^2}{-2xy} = -12x y\) — делится.
— \(\frac{12x^3y^4}{x^2y} = 12x y^3\), \(\frac{-16x^2y^3}{x^2y} = -16 y^2\), \(\frac{24x^2y^2}{x^2y} = 24 y\) — делится.
— \(\frac{12x^3y^4}{4x^2y^2} = 3x y^2\), \(\frac{-16x^2y^3}{4x^2y^2} = -4 y\), \(\frac{24x^2y^2}{4x^2y^2} = 6\) — делится.

Все предложенные делители подходят.

в) Многочлен: \(5z^5m^7 — 25z^8m + 40z^{12}m^2\)

Проверим:

— \(\frac{5z^5m^7}{5zm} = z^4m^6\), \(\frac{-25z^8m}{5zm} = -5z^7\), \(\frac{40z^{12}m^2}{5zm} = 8z^{11}m\) — делится.
— \(\frac{5z^5m^7}{z^2m} = 5z^3m^6\), \(\frac{-25z^8m}{z^2m} = -25z^6\), \(\frac{40z^{12}m^2}{z^2m} = 40z^{10}m\) — делится.
— \(\frac{5z^5m^7}{-z^3} = -5z^2m^7\), \(\frac{-25z^8m}{-z^3} = 25z^5m\), \(\frac{40z^{12}m^2}{-z^3} = -40z^9m^2\) — переменная \(m\) в знаменателе отсутствует, но все степени \(z\) уменьшаются, а \(m\) остаётся — делится (делитель зависит только от \(z\)).
— \(\frac{5z^5m^7}{-5z^3m} = -z^2m^6\), \(\frac{-25z^8m}{-5z^3m} = 5z^5\), \(\frac{40z^{12}m^2}{-5z^3m} = -8z^9m\) — делится.
— \(\frac{5z^5m^7}{z^4} = 5z m^7\), \(\frac{-25z^8m}{z^4} = -25z^4m\), \(\frac{40z^{12}m^2}{z^4} = 40z^8m^2\) — делится.

Все предложенные делители подходят.

г) Многочлен: \(3{,}2k^2l^4 — 1{,}4k^3l^4 + 4{,}3kl^6\)

Проверим делители (действуем по переменным, коэффициенты дробные, но это не мешает делению, так как делители имеют коэффициент ±1):

— \(\frac{3{,}2k^2l^4}{k} = 3{,}2k l^4\), \(\frac{-1{,}4k^3l^4}{k} = -1{,}4k^2l^4\), \(\frac{4{,}3kl^6}{k} = 4{,}3l^6\) — делится.
— \(\frac{3{,}2k^2l^4}{-kl} = -3{,}2k l^3\), \(\frac{-1{,}4k^3l^4}{-kl} = 1{,}4k^2l^3\), \(\frac{4{,}3kl^6}{-kl} = -4{,}3l^5\) — делится.
— \(\frac{3{,}2k^2l^4}{kl^2} = 3{,}2k l^2\), \(\frac{-1{,}4k^3l^4}{kl^2} = -1{,}4k^2l^2\), \(\frac{4{,}3kl^6}{kl^2} = 4{,}3l^4\) — делится.
— \(\frac{3{,}2k^2l^4}{-l^3} = -3{,}2k^2l\), \(\frac{-1{,}4k^3l^4}{-l^3} = 1{,}4k^3l\), \(\frac{4{,}3kl^6}{-l^3} = -4{,}3kl^3\) — делится (делитель зависит только от \(l\), степени \(l\): 4,4,6 ≥ 3 — всё в порядке).
— \(\frac{3{,}2k^2l^4}{kl^4} = 3{,}2k\), \(\frac{-1{,}4k^3l^4}{kl^4} = -1{,}4k^2\), \(\frac{4{,}3kl^6}{kl^4} = 4{,}3l^2\) — делится.

Все предложенные делители подходят.

Ответы:
а) делится на: \(-bc^2\), \(-b^2c\), \(b^2c^2\), \(bc^4\) (не делится на \(-b^3c\))
б) делится на все: \(2x\), \(-4y^2\), \(-2xy\), \(x^2y\), \(4x^2y^2\)
в) делится на все: \(5zm\), \(z^2m\), \(-z^3\), \(-5z^3m\), \(z^4\)
г) делится на все: \(k\), \(-kl\), \(kl^2\), \(-l^3\), \(kl^4\)