ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 34.15 Мордкович — Подробные Ответы

Замените символы * одночленами так, чтобы выполнялись равенства:

а)
\[
\frac{42a^2x^4 — 21a^3x^3 + 72a^4x^2}{*} = * — * + 12a^2x
\]

б)
\[
\frac{* — * + 63a^nx^5}{* } = 2a^5x^3 — 3a^6x^2 + 4{,}5a^{\,n-3}x
\]

в)
\[
\frac{30k^3p^3 — 175k^2p^4 — *}{*} = 3k^2 — * — 14p^2
\]

г)
\[
\frac{45c^{10}d^3 + 54c^{\,n+2}d^7 — *}{* } = * + 3{,}6c^{\,n}d^5 — 2c^6d^8
\]

а) \(\frac{42a^2x^4 — 21a^3x^3 + 72a^4x^2}{6a^2x} = 7x^3 — 3,5ax^2 + 12a^2x\).

б) \(\frac{28a^8x^7 — 42a^9x^6 + 63a^n x^5}{14a^3x^4} = 2a^5x^3 — 3a^6x^2 + 4,5a^{n-3}x\).

в) \(\frac{30k^3p^3 — 175k^2p^4 — 140kp^5}{10kp^3} = 3k^2 — 17,5kp — 14p^2\).

г) \(\frac{45c^{10}d^3 + 54c^{n+2}d^7 — 30c^8d^{10}}{15c^2d^2} = 3c^8d + 3,6c^n d^5 — 2c^6d^8\).

Рассмотрим каждое из данных выражений и выполним подробное почленное деление многочлена на одночлен, применяя правило деления степеней:

\[
\frac{a^m b^n}{a^p b^q} = a^{m-p} b^{n-q}, \quad \text{при } m \ge p,\ n \ge q,
\]
а также деление числовых коэффициентов в десятичной или дробной форме.

а)
\[
\frac{42a^{2}x^{4} — 21a^{3}x^{3} + 72a^{4}x^{2}}{6a^{2}x}
\]

Разделим каждый член:

— \(\frac{42a^{2}x^{4}}{6a^{2}x} = \frac{42}{6} \cdot a^{2-2} \cdot x^{4-1} = 7x^{3}\),
— \(\frac{-21a^{3}x^{3}}{6a^{2}x} = -\frac{21}{6} \cdot a^{3-2} \cdot x^{3-1} = -3{,}5 a x^{2}\),
— \(\frac{72a^{4}x^{2}}{6a^{2}x} = \frac{72}{6} \cdot a^{4-2} \cdot x^{2-1} = 12a^{2}x\).

Суммируя результаты, получаем:
\[
7x^{3} — 3{,}5 a x^{2} + 12a^{2}x.
\]

б)
\[
\frac{28a^{8}x^{7} — 42a^{9}x^{6} + 63a^{n}x^{5}}{14a^{3}x^{4}}
\]

Делим по членам:

— \(\frac{28a^{8}x^{7}}{14a^{3}x^{4}} = \frac{28}{14} \cdot a^{8-3} \cdot x^{7-4} = 2a^{5}x^{3}\),
— \(\frac{-42a^{9}x^{6}}{14a^{3}x^{4}} = -\frac{42}{14} \cdot a^{9-3} \cdot x^{6-4} = -3a^{6}x^{2}\),
— \(\frac{63a^{n}x^{5}}{14a^{3}x^{4}} = \frac{63}{14} \cdot a^{n-3} \cdot x^{5-4} = 4{,}5 a^{n-3} x\).

Итоговое выражение:
\[
2a^{5}x^{3} — 3a^{6}x^{2} + 4{,}5 a^{n-3} x.
\]

Заметим, что деление корректно при условии \(n \ge 3\), чтобы степень \(a\) в последнем члене была неотрицательной.

в)
\[
\frac{30k^{3}p^{3} — 175k^{2}p^{4} — 140kp^{5}}{10kp^{3}}
\]

По членам:

— \(\frac{30k^{3}p^{3}}{10kp^{3}} = \frac{30}{10} \cdot k^{3-1} \cdot p^{3-3} = 3k^{2}\),
— \(\frac{-175k^{2}p^{4}}{10kp^{3}} = -\frac{175}{10} \cdot k^{2-1} \cdot p^{4-3} = -17{,}5 k p\),
— \(\frac{-140kp^{5}}{10kp^{3}} = -\frac{140}{10} \cdot k^{1-1} \cdot p^{5-3} = -14 p^{2}\).

Результат:
\[
3k^{2} — 17{,}5 k p — 14 p^{2}.
\]

г)
\[
\frac{45c^{10}d^{3} + 54c^{n+2}d^{7} — 30c^{8}d^{10}}{15c^{2}d^{2}}
\]

Разделим каждый член:

— \(\frac{45c^{10}d^{3}}{15c^{2}d^{2}} = \frac{45}{15} \cdot c^{10-2} \cdot d^{3-2} = 3c^{8}d\),
— \(\frac{54c^{n+2}d^{7}}{15c^{2}d^{2}} = \frac{54}{15} \cdot c^{n+2-2} \cdot d^{7-2} = 3{,}6 c^{n} d^{5}\),
— \(\frac{-30c^{8}d^{10}}{15c^{2}d^{2}} = -\frac{30}{15} \cdot c^{8-2} \cdot d^{10-2} = -2c^{6}d^{8}\).

Получаем:
\[
3c^{8}d + 3{,}6 c^{n} d^{5} — 2c^{6}d^{8}.
\]

Деление корректно при \(n \ge 0\), так как степень \(c\) в числителе второго слагаемого — \(n+2\), а в знаменателе — 2, и разность равна \(n\).

Ответы:
а) \(7x^{3} — 3{,}5 a x^{2} + 12a^{2}x\)
б) \(2a^{5}x^{3} — 3a^{6}x^{2} + 4{,}5 a^{n-3} x\)
в) \(3k^{2} — 17{,}5 k p — 14 p^{2}\)
г) \(3c^{8}d + 3{,}6 c^{n} d^{5} — 2c^{6}d^{8}\)