ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 34.16 Мордкович — Подробные Ответы

Выясните, какой из данных многочленов может быть частным от деления многочлена \( 30a^4b^3 — 12a^2b^4 \) на некоторый одночлен.
Найдите делитель, если он существует:

а) \( 3a^3 — 1{,}2ab \); \( 30a^4b — 12ab^2 \)
б) \( 5b^3 — 2b \); \( 15a^2b — 4b \)
в) \( 30a^3b^2 — 12ab \); \( 6a^3b^2 — 3ab^3 \)
г) \( 15a^4b^3 — 6a^2b^4 \); \( 3a^2 — 1{,}2b \)

а)
\[
\frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{*} = 3a^3 — 1{,}2ab
\]

\[
* = \frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{3a^3 — 1{,}2ab} = \frac{6a^2b^3(5a^2 — 2b)}{0{,}6a(5a^2 — 2b)} = 10ab^3 \quad \text{— делитель.}
\]

\[
\frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{*} = 30a^4b — 12ab^2
\]

\[
* = \frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{30a^4b — 12ab^2} = \frac{6a^2b^3(5a^2 — 2b)}{6ab(5a^3 — 2b)} \quad \text{— не может быть частным.}
\]

б)
\[
\frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{*} = 5b^3 — 2b^4
\]

\[
* = \frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{5b^3 — 2b^4} \quad \text{— не может быть частным.}
\]

\[
\frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{*} = 15a^2b — 4b
\]

\[
* = \frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{15a^2b — 4b} \quad \text{— не может быть частным.}
\]

в)
\[
\frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{*} = 30a^3b^2 — 12ab
\]

\[
* = \frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{30a^3b^2 — 12ab} = \frac{6a^2b^3(5a^2 — 2b)}{6ab(5a^2b — 2)} \quad \text{— не может быть частным.}
\]

\[
\frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{*} = 6a^3b^2 — 3ab^3
\]

\[
* = \frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{6a^3b^2 — 3ab^3} \quad \text{— не может быть частным.}
\]

г)
\[
\frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{*} = 15a^4b^3 — 6a^2b^4
\]

\[
* = \frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{15a^4b^3 — 6a^2b^4} = \frac{6a^2b^3(5a^2 — 2b)}{3a^2b^3(5a^2 — 2b)} = 2 \quad \text{— делитель.}
\]

\[
\frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{*} = 3a^2 — 1{,}2b
\]

\[
* = \frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{3a^2 — 1{,}2b} = \frac{6a^2b^3(5a^2 — 2b)}{0{,}6(5a^2 — 2b)} = 10a^2b^3 \quad \text{— делитель.}
\]

Рассмотрим многочлен:
\[
30a^4b^3 — 12a^2b^4.
\]

Для удобства вынесем общий множитель:
\[
30a^4b^3 — 12a^2b^4 = 6a^2b^3(5a^2 — 2b).
\]

Это представление будет использоваться при проверке делимости в каждом случае.

а)
Проверим, существует ли такой делитель, чтобы выполнялось равенство:
\[
\frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{*} = 3a^3 — 1{,}2ab.
\]

Найдём неизвестный делитель:
\[
* = \frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{3a^3 — 1{,}2ab}.
\]

Преобразуем знаменатель, вынося общий числовой множитель:
\[
3a^3 — 1{,}2ab = 0{,}6a(5a^2 — 2b).
\]

Подставим числитель в виде вынесенного множителя:
\[
* = \frac{6a^2b^3(5a^2 — 2b)}{0{,}6a(5a^2 — 2b)}.
\]

Сократим общий множитель \((5a^2 — 2b)\) (он не равен нулю при общих значениях переменных) и упростим коэффициенты и степени:
\[
* = \frac{6}{0{,}6} \cdot a^{2 — 1} \cdot b^3 = 10ab^3.
\]

Поскольку получено целое алгебраическое выражение, делитель существует.
Следовательно, выражение \(3a^3 — 1{,}2ab\) действительно является частным при делении исходного многочлена на \(10ab^3\).

Теперь проверим второе предположение:
\[
\frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{*} = 30a^4b — 12ab^2.
\]

Найдём делитель:
\[
* = \frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{30a^4b — 12ab^2}.
\]

Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:
Числитель: \(6a^2b^3(5a^2 — 2b)\).
Знаменатель: \(6ab(5a^3 — 2b)\).

Получаем:
\[
* = \frac{6a^2b^3(5a^2 — 2b)}{6ab(5a^3 — 2b)} = \frac{a b^2 (5a^2 — 2b)}{5a^3 — 2b}.
\]

Многочлены \(5a^2 — 2b\) и \(5a^3 — 2b\) не являются кратными друг другу. Следовательно, сокращение невозможно, и результат не будет многочленом — в знаменателе останется выражение, зависящее от переменных.
Значит, данное частное недопустимо, и деление не является нацело.

б)
Первое предположение:
\[
\frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{*} = 5b^3 — 2b^4.
\]

Найдём делитель:
\[
* = \frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{5b^3 — 2b^4} = \frac{6a^2b^3(5a^2 — 2b)}{b^3(5 — 2b)} = \frac{6a^2(5a^2 — 2b)}{5 — 2b}.
\]

Знаменатель \(5 — 2b\) не совпадает с множителем \(5a^2 — 2b\), так как один зависит от \(a\), а другой — нет. Сократить нельзя, и результат не будет многочленом.
Следовательно, такое частное невозможно.

Второе предположение:
\[
\frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{*} = 15a^2b — 4b.
\]

Найдём делитель:
\[
* = \frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{15a^2b — 4b} = \frac{6a^2b^3(5a^2 — 2b)}{b(15a^2 — 4)} = \frac{6a^2b^2(5a^2 — 2b)}{15a^2 — 4}.
\]

Множитель \(5a^2 — 2b\) не делится на \(15a^2 — 4\), поскольку один содержит переменную \(b\), а другой — нет. Нет общего алгебраического множителя

в)
Первое предположение:
\[
\frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{*} = 30a^3b^2 — 12ab.
\]

Найдём делитель:
\[
* = \frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{30a^3b^2 — 12ab} = \frac{6a^2b^3(5a^2 — 2b)}{6ab(5a^2b — 2)} = \frac{a b^2 (5a^2 — 2b)}{5a^2b — 2}.
\]

Сравним множители: \(5a^2 — 2b\) и \(5a^2b — 2\) — они не пропорциональны и не взаимно сокращаются. Знаменатель содержит переменную \(b\) в другом положении.
Следовательно, деление не нацело.

Второе предположение:
\[
\frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{*} = 6a^3b^2 — 3ab^3.
\]

Найдём делитель:
\[
* = \frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{6a^3b^2 — 3ab^3} = \frac{6a^2b^3(5a^2 — 2b)}{3ab^2(2a^2 — b)} = \frac{2a b (5a^2 — 2b)}{2a^2 — b}.
\]

Выражения \(5a^2 — 2b\) и \(2a^2 — b\) не связаны алгебраически — одно не кратно другому. Сокращения нет.
Значит, деление не является точным.

г)
Первое предположение:
\[
\frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{*} = 15a^4b^3 — 6a^2b^4.
\]

Найдём делитель:
\[
* = \frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{15a^4b^3 — 6a^2b^4} = \frac{6a^2b^3(5a^2 — 2b)}{3a^2b^3(5a^2 — 2b)} = \frac{6}{3} = 2.
\]

Все переменные и скобки сократились полностью. Результат — целое число.
Следовательно, деление нацело, и \(2\) — допустимый делитель.

Второе предположение:
\[
\frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{*} = 3a^2 — 1{,}2b.
\]

Найдём делитель:
\[
* = \frac{30a^4b^3 — 12a^2b^4}{3a^2 — 1{,}2b}.
\]

Преобразуем знаменатель:
\[
3a^2 — 1{,}2b = 0{,}6(5a^2 — 2b).
\]

Подставим числитель:
\[
* = \frac{6a^2b^3(5a^2 — 2b)}{0{,}6(5a^2 — 2b)} = \frac{6}{0{,}6} \cdot a^2b^3 = 10a^2b^3.
\]

Результат — многочлен. Деление нацело.
Следовательно, \(3a^2 — 1{,}2b\) действительно может быть частным при делении на \(10a^2b^3\).

Итог: деление нацело (то есть с получением многочлена в частном) возможно только в следующих случаях:

а) \(3a^3 — 1{,}2ab\)
б) —
в) —
г) \(15a^4b^3 — 6a^2b^4\), \(3a^2 — 1{,}2b\)