Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 34.17 Мордкович — Подробные Ответы
Выясните, какой из данных многочленов может быть частным от деления многочлена \( 42x^6y^4 + 56x^4y^2 \) на некоторый одночлен.
Найдите делитель, если он существует:
а) \( 21x^4y^3 + 18x^3y^6 \); \( 5{,}25xy^3 + 7y^6 \); \( 6x^4y^3 + 8x^3y \)
б) \( 6x^3y^3 + 8x^2y^6 \); \( 42xy + 56y^2 \); \( 21x^2y^3 + 28xy \)
в) \( 42x^2y + 56x \); \( 21x^3y^3 + 28x^3y \); \( 4{,}2x^4y^2 + 5{,}6x^3 \)
г) \( 5{,}25xy^3 + 14xy^6 \); \( 10{,}5x^2y^3 + 14xy \); \( 6x^3y + 8x^2 \)
Рассмотрим многочлен
\[
42x^{5}y^{4} + 56x^{4}y^{2} = 14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)
\]
и проверим, для каких из предложенных частных делитель \( D \) является одночленом, то есть выражение
\[
D = \frac{42x^{5}y^{4} + 56x^{4}y^{2}}{\text{частное}}
\]
упрощается до одночлена.
а)
1. Частное: \( 21x^{4}y^{3} + 18x^{3}y^{6} \)
\[
D = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{21x^{4}y^{3} + 18x^{3}y^{6}} = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{3x^{3}y^{3}(7x + 6y^{3})}.
\]
Множители не совпадают → не одночлен.
2. Частное: \( 5{,}25xy^{3} + 7y^{6} \)
\[
D = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{5{,}25xy^{3} + 7y^{6}} = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{1{,}75y^{3}(3 + 4y^{3})}.
\]
Множитель \( (3xy^{2} + 4) \) не сокращается → не одночлен.
3. Частное: \( 6x^{4}y^{3} + 8x^{3}y \)
\[
D = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{6x^{4}y^{3} + 8x^{3}y} = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{2x^{3}y(3xy^{2} + 4)} = \frac{14x^{4}y^{2}}{2x^{3}y} = 7xy.
\]
→ делитель: \( 7xy \).
б)
1. Частное: \( 6x^{3}y^{3} + 8x^{2}y^{6} \)
\[
D = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{6x^{3}y^{3} + 8x^{2}y^{6}} = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{2x^{2}y^{3}(3x + 4y^{3})}.
\]
→ не одночлен.
2. Частное: \( 42xy + 56y^{2} \)
\[
D = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{42xy + 56y^{2}} = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{14y(3x + 4y)}.
\]
→ не одночлен.
3. Частное: \( 21x^{2}y^{3} + 28xy \)
\[
D = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{21x^{2}y^{3} + 28xy} = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{7xy(3xy^{2} + 4)} = \frac{14x^{4}y^{2}}{7xy} = 2x^{3}y.
\]
→ делитель: \( 2x^{3}y \).
в)
1. Частное: \( 42x^{2}y + 56x \)
\[
D = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{42x^{2}y + 56x} = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{14x(3xy + 4)}.
\]
→ не одночлен.
2. Частное: \( 21x^{3}y^{3} + 28x^{3}y \)
\[
D = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{21x^{3}y^{3} + 28x^{3}y} = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{7x^{3}y(3y^{2} + 4)}.
\]
→ не одночлен.
3. Частное: \( 4{,}2x^{4}y^{2} + 5{,}6x^{3} \)
\[
D = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{4{,}2x^{4}y^{2} + 5{,}6x^{3}} = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{1{,}4x^{3}(3xy^{2} + 4)} = \frac{14x^{4}y^{2}}{1{,}4x^{3}} = 10xy^{2}.
\]
→ делитель: \( 10xy^{2} \).
г)
1. Частное: \( 5{,}25xy^{3} + 14xy^{6} \)
\[
D = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{5{,}25xy^{3} + 14xy^{6}} = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{1{,}75xy^{3}(3 + 8y^{3})}.
\]
→ не одночлен.
2. Частное: \( 10{,}5x^{2}y^{3} + 14xy \)
\[
D = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{10{,}5x^{2}y^{3} + 14xy} = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{3{,}5xy(3xy^{2} + 4)} = \frac{14x^{4}y^{2}}{3{,}5xy} = 4x^{3}y.
\]
→ делитель: \( 4x^{3}y \).
3. Частное: \( 6x^{3}y + 8x^{2} \)
\[
D = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{6x^{3}y + 8x^{2}} = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{2x^{2}(3xy + 4)}.
\]
→ не одночлен.
Ответы:
а) частное \( 6x^{4}y^{3} + 8x^{3}y \) → делитель \( 7xy \)
б) частное \( 21x^{2}y^{3} + 28xy \) → делитель \( 2x^{3}y \)
в) частное \( 4{,}2x^{4}y^{2} + 5{,}6x^{3} \) → делитель \( 10xy^{2} \)
г) частное \( 10{,}5x^{2}y^{3} + 14xy \) → делитель \( 4x^{3}y \)
Рассмотрим многочлен
\[
42x^{5}y^{4} + 56x^{4}y^{2}
\]
и вынесем из него наибольший общий делитель всех его членов. Коэффициенты 42 и 56 имеют наибольший общий делитель 14. Степени переменной \(x\): наименьшая — \(x^{4}\); степени переменной \(y\): наименьшая — \(y^{2}\). Таким образом, общий множитель равен \(14x^{4}y^{2}\). После вынесения получаем:
\[
42x^{5}y^{4} + 56x^{4}y^{2} = 14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4).
\]
Эта факторизация будет использоваться при проверке каждого из предложенных частных. Цель — определить, существует ли такой делитель \(D\), чтобы при делении исходного многочлена на \(D\) получилось данное частное. Это эквивалентно проверке, является ли выражение
\[
D = \frac{42x^{5}y^{4} + 56x^{4}y^{2}}{\text{частное}} = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{\text{частное}}
\]
одночленом (то есть произведением числового коэффициента и неотрицательных целых степеней переменных). Если в результате остаётся сумма или разность, или появляются отрицательные степени, или множитель \( (3xy^{2} + 4) \) не сокращается полностью, то деление некорректно.
а)
1. Частное: \( 21x^{4}y^{3} + 18x^{3}y^{6} \)
Разложим знаменатель:
\[
21x^{4}y^{3} + 18x^{3}y^{6} = 3x^{3}y^{3}(7x + 6y^{3}).
\]
Тогда
\[
D = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{3x^{3}y^{3}(7x + 6y^{3})}.
\]
Общий множитель \( (3xy^{2} + 4) \) не присутствует в знаменателе, а выражение \(7x + 6y^{3}\) не совпадает с ним. Степени переменных также не позволяют полного сокращения. Результат — дробь, содержащая сумму в знаменателе, то есть не одночлен. Следовательно, деление нецелое.
2. Частное: \( 5{,}25xy^{3} + 7y^{6} \)
Вынесем общий множитель из знаменателя:
\[
5{,}25xy^{3} + 7y^{6} = 1{,}75y^{3}(3x + 4y^{3}).
\]
Тогда
\[
D = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{1{,}75y^{3}(3x + 4y^{3})}.
\]
Заметим, что \(3x + 4y^{3} \ne 3xy^{2} + 4\). Множители различны, сокращение невозможно. Результат — не одночлен.
3. Частное: \( 6x^{4}y^{3} + 8x^{3}y \)
Вынесем общий множитель:
\[
6x^{4}y^{3} + 8x^{3}y = 2x^{3}y(3xy^{2} + 4).
\]
Теперь
\[
D = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{2x^{3}y(3xy^{2} + 4)} = \frac{14x^{4}y^{2}}{2x^{3}y} = 7xy.
\]
Все множители сократились, остался одночлен. Деление корректно, и искомый делитель равен \(7xy\).
б)
1. Частное: \( 6x^{3}y^{3} + 8x^{2}y^{6} = 2x^{2}y^{3}(3x + 4y^{3}) \)
\[
D = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{2x^{2}y^{3}(3x + 4y^{3})}.
\]
Множитель \(3x + 4y^{3}\) не совпадает с \(3xy^{2} + 4\), сокращения нет → не одночлен.
2. Частное: \( 42xy + 56y^{2} = 14y(3x + 4y) \)
\[
D = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{14y(3x + 4y)} = \frac{x^{4}y(3xy^{2} + 4)}{3x + 4y}.
\]
Знаменатель — линейное выражение, не совпадающее с числителем → не одночлен.
3. Частное: \( 21x^{2}y^{3} + 28xy = 7xy(3xy^{2} + 4) \)
\[
D = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{7xy(3xy^{2} + 4)} = \frac{14x^{4}y^{2}}{7xy} = 2x^{3}y.
\]
Всё сократилось → делитель \(2x^{3}y\).
в)
1. Частное: \( 42x^{2}y + 56x = 14x(3xy + 4) \)
\[
D = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{14x(3xy + 4)} = \frac{x^{3}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{3xy + 4}.
\]
Знаменатель \(3xy + 4\) отличается от \(3xy^{2} + 4\) → не сокращается.
2. Частное: \( 21x^{3}y^{3} + 28x^{3}y = 7x^{3}y(3y^{2} + 4) \)
\[
D = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{7x^{3}y(3y^{2} + 4)} = \frac{2x y (3xy^{2} + 4)}{3y^{2} + 4}.
\]
Множители различны → не одночлен.
3. Частное: \( 4{,}2x^{4}y^{2} + 5{,}6x^{3} \)
Запишем коэффициенты как дроби: \(4{,}2 = \frac{21}{5}\), \(5{,}6 = \frac{28}{5}\), но удобнее использовать десятичные:
Вынесем общий множитель:
\(4{,}2x^{4}y^{2} + 5{,}6x^{3} = 1{,}4x^{3}(3xy^{2} + 4)\), так как
\(1{,}4 \cdot 3 = 4{,}2\), \(1{,}4 \cdot 4 = 5{,}6\).
Тогда
\[
D = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{1{,}4x^{3}(3xy^{2} + 4)} = \frac{14x^{4}y^{2}}{1{,}4x^{3}} = \frac{14}{1{,}4} \cdot x^{4-3} y^{2} = 10xy^{2}.
\]
→ делитель \(10xy^{2}\).
г)
1. Частное: \( 5{,}25xy^{3} + 14xy^{6} = 1{,}75xy^{3}(3 + 8y^{3}) \)
\[
D = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{1{,}75xy^{3}(3 + 8y^{3})}.
\]
Множитель \(3 + 8y^{3}\) не совпадает с \(3xy^{2} + 4\) → не одночлен.
2. Частное: \( 10{,}5x^{2}y^{3} + 14xy \)
Вынесем общий множитель:
\(10{,}5 = 3{,}5 \cdot 3\), \(14 = 3{,}5 \cdot 4\), поэтому
\[
10{,}5x^{2}y^{3} + 14xy = 3{,}5xy(3xy^{2} + 4).
\]
Тогда
\[
D = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{3{,}5xy(3xy^{2} + 4)} = \frac{14x^{4}y^{2}}{3{,}5xy} = \frac{14}{3{,}5} \cdot x^{3} y = 4x^{3}y.
\]
→ делитель \(4x^{3}y\).
3. Частное: \( 6x^{3}y + 8x^{2} = 2x^{2}(3xy + 4) \)
\[
D = \frac{14x^{4}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{2x^{2}(3xy + 4)} = \frac{7x^{2}y^{2}(3xy^{2} + 4)}{3xy + 4}.
\]
Знаменатель не совпадает с множителем в числителе → не одночлен.
Ответы:
а) частное \( 6x^{4}y^{3} + 8x^{3}y \) → делитель \( 7xy \)
б) частное \( 21x^{2}y^{3} + 28xy \) → делитель \( 2x^{3}y \)
в) частное \( 4{,}2x^{4}y^{2} + 5{,}6x^{3} \) → делитель \( 10xy^{2} \)
г) частное \( 10{,}5x^{2}y^{3} + 14xy \) → делитель \( 4x^{3}y \)
