ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 34.7 Мордкович — Подробные Ответы

Придумайте три одночлена, на которые делится данный многочлен:
а) \[
5x^{2} — 6x^{4} + 48x^{6} — 12x^{3}
\]

б) \[
14x^{6} — 28x + 7x^{5} + 84x^{4} — 56x^{8}
\]

в) \[
15a^{2}b^{3} + 25a^{4}b^{2} — 30a^{6}b^{3} — 75a^{4}b^{7}
\]

г) \[
45m^{6}n^{2} + 30m^{3}n^{5} + 60m^{4}a^{3} — 90m^{4}n^{5}
\]

а) 5x² − 6x⁴ + 48x⁶ − 12x³ — делится на:
x, x², −x.

б) 14x⁶ − 28x + 7x⁵ + 84x⁴ − 56x⁸ — делится на:
x, 7x, −7x.

в) 15a²b³ + 25a⁴b² − 30a⁶b³ − 75a⁴b⁷ — делится на:
a²b², 5ab, 5a²b².

г) 45m⁶n² + 30m³n⁵ + 60m⁴n³ − 90m⁴n⁵ — делится на:
m³n², m²n, 15mn.

а) Рассмотрим многочлен 5x² − 6x⁴ + 48x⁶ − 12x³. Чтобы определить, на какие одночлены он делится, нужно найти общий делитель всех его членов. Для этого анализируем степени переменной x в каждом слагаемом:
— в 5x² степень x равна 2,
— в −6x⁴ степень x равна 4,
— в 48x⁶ степень x равна 6,
— в −12x³ степень x равна 3.
Наименьшая степень x среди всех слагаемых — 2. Следовательно, x² делит каждый член, а значит, и весь многочлен. Тогда любой делитель x² (в пределах целых степеней и с учётом знака) также будет делителем всего выражения. В частности, x делит x², поэтому x — допустимый делитель. Аналогично, −x отличается от x только знаком, а знак не влияет на делимость в кольце многочленов с целыми коэффициентами, поэтому и −x также является делителем. Таким образом, многочлен делится на x, x² и −x.

б) Рассмотрим многочлен 14x⁶ − 28x + 7x⁵ + 84x⁴ − 56x⁸. Анализируем общий буквенный множитель. Степени x в членах: 6, 1, 5, 4, 8. Наименьшая степень — 1, значит, общий буквенный множитель — x. Теперь найдём числовой общий делитель коэффициентов: 14, −28, 7, 84, −56. Наибольший общий делитель этих чисел — 7. Следовательно, общий делитель всего многочлена — 7x. Любой делитель 7x (с учётом знака и целочисленных коэффициентов) также будет делителем многочлена. В частности, x делит 7x, поэтому x — допустимый делитель. Также −7x отличается от 7x только знаком, и знак не препятствует делимости, поэтому −7x также является делителем. Таким образом, многочлен делится на x, 7x и −7x.

в) Рассмотрим многочлен 15a²b³ + 25a⁴b² − 30a⁶b³ − 75a⁴b⁷. Найдём общий делитель по каждой переменной отдельно. По переменной a степени: 2, 4, 6, 4 → наименьшая — 2. По переменной b степени: 3, 2, 3, 7 → наименьшая — 2. Значит, общий буквенный множитель — a²b². Теперь найдём числовой НОД коэффициентов: 15, 25, 30, 75. НОД(15, 25, 30, 75) = 5. Следовательно, общий делитель — 5a²b². Проверим предложенные варианты:
— a²b²: да, это буквенный множитель без числового коэффициента, и поскольку все коэффициенты делятся на 1, a²b² делит каждый член.
— 5ab: степень a у него — 1 (меньше 2), степень b — 1 (меньше 2), но всё же каждый член содержит как минимум a¹ и b¹, и коэффициенты делятся на 5, поэтому 5ab также является делителем.
— 5a²b²: это наибольший общий делитель, он точно делит все члены.
Таким образом, многочлен делится на a²b², 5ab и 5a²b².

г) Рассмотрим многочлен 45m⁶n² + 30m³n⁵ + 60m⁴n³ − 90m⁴n⁵. Определим наименьшие степени переменных. По m: степени 6, 3, 4, 4 → наименьшая — 3. По n: степени 2, 5, 3, 5 → наименьшая — 2. Общий буквенный множитель — m³n². Числовые коэффициенты: 45, 30, 60, 90. Их НОД равен 15. Следовательно, общий делитель — 15m³n². Проверим предложенные варианты:
— m³n²: буквенный множитель, все члены содержат как минимум m³ и n², коэффициенты целые, значит, делится.
— m²n: степени m и n меньше, чем в общем делителе, но поскольку каждый член содержит не менее m³ и n², то тем более содержит m² и n, поэтому m²n делит каждый член.
— 15mn: коэффициент 15 делит все числовые коэффициенты, степени m¹ и n¹ присутствуют во всех членах (так как минимальные степени выше), поэтому 15mn также является делителем.
Таким образом, многочлен делится на m³n², m²n и 15mn.

Ответы:
а) x, x², −x
б) x, 7x, −7x
в) a²b², 5ab, 5a²b²
г) m³n², m²n, 15mn