ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 34.8 Мордкович — Подробные Ответы

Установите, корректно ли задание: разделить многочлен \( 2x^3y^2 + 3x^2y — 5x^4y^4 \) на одночлен \( A \), если:

а) \( A = xyz \)
б) \( A = x^2y^2 \)
в) \( A = xy \)
г) \( A = -x^2y \)

\[
(2x^{3}y^{2} + 3x^{2}y — 5x^{4}y^{4}) : A
\]

а) \( A = xyz \) — некорректно, так как в многочлене отсутствует переменная \( z \).

б) \( A = x^{2}y^{2} \) — некорректно, поскольку в многочлене присутствует член \( 3x^{2}y \), в котором степень \( y \) равна 1, а значит, деление на \( y^{2} \) невозможно без остатка.

в) \( A = xy \) — корректно:
\[
\frac{2x^{3}y^{2}}{xy} + \frac{3x^{2}y}{xy} — \frac{5x^{4}y^{4}}{xy}
= 2x^{2}y + 3x — 5x^{3}y^{3}.
\]

г) \( A = -x^{2}y \) — корректно:
\[
\frac{2x^{3}y^{2}}{-x^{2}y} + \frac{3x^{2}y}{-x^{2}y} — \frac{5x^{4}y^{4}}{-x^{2}y}
= -2xy — 3 + 5x^{2}y^{3}.
\]

Рассмотрим выражение:

\[
\frac{2x^{3}y^{2} + 3x^{2}y — 5x^{4}y^{4}}{A}
\]

и проанализируем, при каких значениях \( A \) деление многочлена нацело возможно (то есть результатом будет многочлен, а не дробно-рациональное выражение).

а) \( A = xyz \)

В исходном многочлене присутствуют только переменные \( x \) и \( y \). Переменная \( z \) отсутствует полностью, то есть у каждого члена степень \( z \) равна 0. При делении на \( xyz \) появился бы знаменатель, содержащий \( z \), и результат не был бы многочленом.
Следовательно, деление на \( xyz \) некорректно (невозможно без остатка).

б) \( A = x^{2}y^{2} \)

Проверим каждый член делимого:

— \( 2x^{3}y^{2} \div x^{2}y^{2} = 2x \) — допустимо;
— \( -5x^{4}y^{4} \div x^{2}y^{2} = -5x^{2}y^{2} \) — допустимо;
— \( 3x^{2}y \div x^{2}y^{2} = \frac{3}{y} \) — недопустимо, так как получается дробь.

Поскольку в многочлене есть член \( 3x^{2}y \), степень переменной \( y \) в котором равна 1, а в делителе — 2, то деление не будет целым.
Следовательно, деление на \( x^{2}y^{2} \) некорректно.

в) \( A = xy \)

Проверим деление каждого слагаемого:

\[
\frac{2x^{3}y^{2}}{xy} = 2x^{2}y, \quad
\frac{3x^{2}y}{xy} = 3x, \quad
\frac{-5x^{4}y^{4}}{xy} = -5x^{3}y^{3}.
\]

Все три частных — целые одночлены. Следовательно, деление возможно, и результат:

\[
2x^{2}y + 3x — 5x^{3}y^{3}.
\]

Деление корректно.

г) \( A = -x^{2}y \)

Разделим каждый член по отдельности:

\[
\frac{2x^{3}y^{2}}{-x^{2}y} = -2xy, \quad
\frac{3x^{2}y}{-x^{2}y} = -3, \quad
\frac{-5x^{4}y^{4}}{-x^{2}y} = +5x^{2}y^{3}.
\]

Все результаты — целые одночлены, следовательно, деление возможно. Объединяя:

\[
-2xy — 3 + 5x^{2}y^{3}.
\]

Деление корректно.

Ответы:

а) Некорректно
б) Некорректно
в) Корректно; результат: \( 2x^{2}y + 3x — 5x^{3}y^{3} \)
г) Корректно; результат: \( -2xy — 3 + 5x^{2}y^{3} \)