Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 38.12 Мордкович — Подробные Ответы
Решите уравнение: а) \(x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = 0\); б) \(x^4 + x^3 — 8x — 8 = 0\); в) \(x^3 + 3x^2 + 5х + 15 = 0\); г) \(x^4 — 3x^3 — x + 3 = 0\).
1)
\( x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = 0 \)
\( x^2(x+2) + 3(x+2) = 0 \)
\( (x^2+3)(x+2) = 0 \)
\( x+2 = 0 \)
\( x = -2 \)
2)
\( x^4 + x^3 — 8x — 8 = 0 \)
\( x^3(x+1) — 8(x+1) = 0 \)
\( (x^3-8)(x+1) = 0 \)
\( (x-2)(x^2+2x+4)(x+1) = 0 \)
\( x-2 = 0 \)
\( x = 2 \)
\( x+1 = 0 \)
\( x = -1 \)
3)
\( x^3 + 3x^2 + 5x + 15 = 0 \)
\( x^2(x+3) + 5(x+3) = 0 \)
\( (x^2+5)(x+3) = 0 \)
\( x+3 = 0 \)
\( x = -3 \)
4)
\( x^4 — 3x^3 — x + 3 = 0 \)
\( x^3(x-3) — 1(x-3) = 0 \)
\( (x^3-1)(x-3) = 0 \)
\( (x-1)(x^2+x+1)(x-3) = 0 \)
\( x-1 = 0 \)
\( x = 1 \)
\( x-3 = 0 \)
\( x = 3 \)
1) Уравнение \(x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = 0\)
1. Исходное уравнение:
\[
x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = 0
\]
2. Группировка:
Мы можем сгруппировать термины:
\[
x^2(x + 2) + 3(x + 2) = 0
\]
3. Вынесение общего множителя:
Вынесем общий множитель \((x + 2)\):
\[
(x^2 + 3)(x + 2) = 0
\]
4. Решение уравнения:
Теперь мы можем решить оба множителя:
— Первый множитель:
\[
x + 2 = 0 > x = -2
\]
— Второй множитель:
\[
x^2 + 3 = 0 > x^2 = -3 > x = \pm i\sqrt{3}
\]
5. Итоговые корни:
\[
x = -2, \quad x = i\sqrt{3}, \quad x = -i\sqrt{3}
\]
2) Уравнение \(x^4 + x^3 — 8x — 8 = 0\)
1. Исходное уравнение:
\[
x^4 + x^3 — 8x — 8 = 0
\]
2. Группировка:
Сгруппируем термины:
\[
x^3(x + 1) — 8(x + 1) = 0
\]
3. Вынесение общего множителя:
Вынесем общий множитель \((x + 1)\):
\[
(x^3 — 8)(x + 1) = 0
\]
4. Решение уравнения:
Теперь решим оба множителя:
— Первый множитель:
\[
x + 1 = 0 > x = -1
\]
— Второй множитель:
\[
x^3 — 8 = 0 > x^3 = 8 > x = 2
\]
Для разложения \(x^3 — 8\) на множители:
\[
x^3 — 8 = (x — 2)(x^2 + 2x + 4)
\]
Корни квадратного уравнения \(x^2 + 2x + 4 = 0\) можно найти по формуле дискриминанта:
\[
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 — 16 = -12
\]
Это дает комплексные корни:
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}
\]
5. Итоговые корни:
\[
x = -1, \quad x = 2, \quad x = -1 + i\sqrt{3}, \quad x = -1 — i\sqrt{3}
\]
3) Уравнение \(x^3 + 3x^2 + 5x + 15 = 0\)
1. Исходное уравнение:
\[
x^3 + 3x^2 + 5x + 15 = 0
\]
2. Группировка:
Сгруппируем термины:
\[
x^2(x + 3) + 5(x + 3) = 0
\]
3. Вынесение общего множителя:
Вынесем общий множитель \((x + 3)\):
\[
(x^2 + 5)(x + 3) = 0
\]
4. Решение уравнения:
Теперь решим оба множителя:
— Первый множитель:
\[
x + 3 = 0 > x = -3
\]
— Второй множитель:
\[
x^2 + 5 = 0 > x^2 = -5 > x = \pm i\sqrt{5}
\]
5. Итоговые корни:
\[
x = -3, \quad x = i\sqrt{5}, \quad x = -i\sqrt{5}
\]
4) Уравнение \(x^4 — 3x^3 — x + 3 = 0\)
1. Исходное уравнение:
\[
x^4 — 3x^3 — x + 3 = 0
\]
2. Группировка:
Сгруппируем термины:
\[
x^3(x — 3) — 1(x — 3) = 0
\]
3. Вынесение общего множителя:
Вынесем общий множитель \((x — 3)\):
\[
(x^3 — 1)(x — 3) = 0
\]
4. Решение уравнения:
Теперь решим оба множителя:
— Первый множитель:
\[
x — 3 = 0 > x = 3
\]
— Второй множитель:
\[
x^3 — 1 = 0 > x^3 = 1 > x = 1
\]
Для разложения \(x^3 — 1\) на множители:
\[
x^3 — 1 = (x — 1)(x^2 + x + 1)
\]
Корни квадратного уравнения \(x^2 + x + 1 = 0\) можно найти по формуле дискриминанта:
\[
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 — 4 = -3
\]
Это дает комплексные корни:
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i
\]
5. Итоговые корни:
\[
x = 3, \quad x = 1, \quad x = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \quad x = -\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i
\]
