ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.1 Мордкович — Подробные Ответы

Представьте в виде квадрата одночлена заданные выражения: а) 4z², 9b⁴, 25m²,64p²; б) 16a²b⁴, 81x⁶y⁴, 49s²t⁸, 25k²t¹⁰; в) \(\frac{16}{25}\) p²s⁴t²; \(\frac{9}{16}\) m⁴n¹², \(\frac{4}{49}\) * a²b¹², \(\frac{25}{81}\) *x⁴y⁸z¹⁶; г) 0,01a⁴b⁸, 0,04x⁶y⁶, 0,49k⁸l¹⁰, 1,21m⁶n⁴.

а) 4z² = (2z)², 9b⁴ = (3b²)², 25m² = (5m)², 64p² = (8p)².

б) 16a²b⁴ = (4ab²)², 81x⁶y⁴ = (9x³y²)², 49s²t⁸ = (7st⁴)², 25k²t¹⁰ = (5kt⁵)².

в) \(\frac{16}{25} p²s⁴t² = \left(\frac{4}{5} ps²t\right)², \frac{9}{16} m⁴n¹² = \left(\frac{3}{4} m²n⁶\right)², \frac{4}{49} a²b¹² =\)

\(\left(\frac{2}{7} ab⁶\right)², \frac{25}{81} x⁴y⁸z¹⁶ = \left(\frac{5}{9} x²y⁴z⁸\right)\)².

г) 0,01a⁴b⁸ = (0,1a²b⁴)², 0,04x⁶y⁶ = (0,2x³y³)², 0,49k⁸l¹⁰ = (0,7k⁴l⁵)², 1,21m⁶n⁴ = (1,1m³n²)².

а)
Рассмотрим каждое выражение и покажем, что оно действительно является полным квадратом.

Начнём с \(4z^2\). Заметим, что \(4 = 2^2\), поэтому
\(4z^2 = (2^2)(z^2) = (2z)^2\).

Аналогично, \(9b^4 = (3^2)(b^4) = (3b^2)^2\), так как \(b^4 = (b^2)^2\).

Далее, \(25m^2 = (5^2)(m^2) = (5m)^2\).

И, наконец, \(64p^2 = (8^2)(p^2) = (8p)^2\).

Во всех случаях мы использовали свойство степеней: произведение квадратов равно квадрату произведения.

Таким образом, верны равенства:
\(4z^2 = (2z)^2\),
\(9b^4 = (3b^2)^2\),
\(25m^2 = (5m)^2\),
\(64p^2 = (8p)^2\).

б)
Теперь рассмотрим выражения, содержащие произведения переменных.

Возьмём \(16a^2b^4\). Разложим коэффициент: \(16 = 4^2\).
Степени: \(a^2 = (a)^2\), \(b^4 = (b^2)^2\).
Тогда всё выражение:
\(16a^2b^4 = (4^2)(a^2)(b^2)^2 = (4ab^2)^2\).

Следующее: \(81x^6y^4\).
\(81 = 9^2\), \(x^6 = (x^3)^2\), \(y^4 = (y^2)^2\).
Следовательно,
\(81x^6y^4 = (9x^3y^2)^2\).

Третье: \(49s^2t^8\).
\(49 = 7^2\), \(s^2 = (s)^2\), \(t^8 = (t^4)^2\),
поэтому \(49s^2t^8 = (7st^4)^2\).

Четвёртое: \(25k^2t^{10}\).
\(25 = 5^2\), \(k^2 = (k)^2\), \(t^{10} = (t^5)^2\),
значит, \(25k^2t^{10} = (5kt^5)^2\).

Все выражения подтверждены как квадраты.

в)
Теперь разберём выражения с дробными коэффициентами.

Первое: \(\frac{16}{25} p^2 s^4 t^2\).
Заметим, что \(\frac{16}{25} = \left(\frac{4}{5}\right)^2\),
\(p^2 = (p)^2\), \(s^4 = (s^2)^2\), \(t^2 = (t)^2\).
Объединяя:
\(\frac{16}{25} p^2 s^4 t^2 = \left(\frac{4}{5} p s^2 t\right)^2\).

Второе: \(\frac{9}{16} m^4 n^{12}\).
\(\frac{9}{16} = \left(\frac{3}{4}\right)^2\),
\(m^4 = (m^2)^2\), \(n^{12} = (n^6)^2\),
поэтому
\(\frac{9}{16} m^4 n^{12} = \left(\frac{3}{4} m^2 n^6\right)^2\).

Третье: \(\frac{4}{49} a^2 b^{12}\).
\(\frac{4}{49} = \left(\frac{2}{7}\right)^2\),
\(a^2 = (a)^2\), \(b^{12} = (b^6)^2\),
следовательно,
\(\frac{4}{49} a^2 b^{12} = \left(\frac{2}{7} a b^6\right)^2\).

Четвёртое: \(\frac{25}{81} x^4 y^8 z^{16}\).
\(\frac{25}{81} = \left(\frac{5}{9}\right)^2\),
\(x^4 = (x^2)^2\), \(y^8 = (y^4)^2\), \(z^{16} = (z^8)^2\),
поэтому
\(\frac{25}{81} x^4 y^8 z^{16} = \left(\frac{5}{9} x^2 y^4 z^8\right)^2\).

Таким образом, все дробные выражения также являются полными квадратами.

г)
Рассмотрим выражения с десятичными коэффициентами.

Первое: \(0{,}01a^4b^8\).
Заметим, что \(0{,}01 = (0{,}1)^2\),
\(a^4 = (a^2)^2\), \(b^8 = (b^4)^2\),
поэтому
\(0{,}01a^4b^8 = (0{,}1a^2b^4)^2\).

Второе: \(0{,}04x^6y^6\).
\(0{,}04 = (0{,}2)^2\),
\(x^6 = (x^3)^2\), \(y^6 = (y^3)^2\),
следовательно,
\(0{,}04x^6y^6 = (0{,}2x^3y^3)^2\).

Третье: \(0{,}49k^8l^{10}\).
\(0{,}49 = (0{,}7)^2\),
\(k^8 = (k^4)^2\), \(l^{10} = (l^5)^2\),
поэтому
\(0{,}49k^8l^{10} = (0{,}7k^4l^5)^2\).

Четвёртое: \(1{,}21m^6n^4\).
\(1{,}21 = (1{,}1)^2\),
\(m^6 = (m^3)^2\), \(n^4 = (n^2)^2\),
значит,
\(1{,}21m^6n^4 = (1{,}1m^3n^2)^2\).

Все десятичные коэффициенты также являются квадратами, и полные выражения — квадраты соответствующих одночленов.