ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.11 Мордкович — Подробные Ответы

Запишите сумму и неполный квадрат разности одночленов: а) а и b; \( б) m^2\)и \( 2n^2\); в) 2с и 3d; г) 3р и \( 4q^2\).

а) \( a + b \), \( a^2 — ab + b^2 \).

б) \( m^2 + 2n^2 \), \( m^4 — 2m^2n^2 + 4n^4 \).

в) \( 2c + 3d \), \( 4c^2 — 6cd + 9d^2 \).

г) \( 3p + 4q^2 \), \( 9p^2 — 12pq^2 + 16q^4 \).

а) \( (a + b)(a^2 — ab + b^2) \)

Рассмотрим произведение двух выражений: линейного \( a + b \) и квадратичного \( a^2 — ab + b^2 \).

Это стандартная форма разложения суммы кубов:
\[
A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 — AB + B^2).
\]

Здесь \( A = a \), \( B = b \). Следовательно, ожидаем результат \( a^3 + b^3 \). Проверим это непосредственным умножением:

\[
\begin{aligned}
(a + b)(a^2 — ab + b^2) &= a(a^2 — ab + b^2) + b(a^2 — ab + b^2) \\
&= a^3 — a^2b + ab^2 + a^2b — ab^2 + b^3.
\end{aligned}
\]

Теперь приведём подобные члены:

— \( -a^2b + a^2b = 0 \),
— \( ab^2 — ab^2 = 0 \).

Остаются только \( a^3 + b^3 \).

Таким образом,
\[
(a + b)(a^2 — ab + b^2) = a^3 + b^3.
\]

б) \( (m^2 + 2n^2)(m^4 — 2m^2n^2 + 4n^4) \)

Обозначим \( A = m^2 \), \( B = 2n^2 \). Тогда:

— \( A^3 = (m^2)^3 = m^6 \),
— \( B^3 = (2n^2)^3 = 8n^6 \),
— \( A^2 = m^4 \),
— \( AB = m^2 \cdot 2n^2 = 2m^2n^2 \),
— \( B^2 = (2n^2)^2 = 4n^4 \).

Следовательно,
\[
A^2 — AB + B^2 = m^4 — 2m^2n^2 + 4n^4,
\]

и исходное произведение принимает вид:
\[
(A + B)(A^2 — AB + B^2) = A^3 + B^3 = m^6 + 8n^6.
\]

Проверим прямым умножением:

\[
\begin{aligned}
(m^2 + 2n^2)(m^4 — 2m^2n^2 + 4n^4) &=2m^2n^2 + 4n^4 \\
&= 2m^4n^2 — 4m^2n^4 + 8n^6.
\end{aligned}
\]

Приводим подобные:

— \( -2m^4n^2 + 2m^4n^2 = 0 \),
— \( 4m^2n^4 — 4m^2n^4 = 0 \).

Остаётся:
\[
m^6 + 8n^6.
\]

Итак,
\[
(m^2 + 2n^2)(m^4 — 2m^2n^2 + 4n^4) = m^6 + 8n^6.
\]

в) \( (2c + 3d)(4c^2 — 6cd + 9d^2) \)

Заметим, что:

— \( 2c = A \), \( 3d = B \),
— \( A^2 = (2c)^2 = 4c^2 \),
— \( AB = (2c)(3d) = 6cd \),
— \( B^2 = (3d)^2 = 9d^2 \).

Следовательно, второй множитель — это \( A^2 — AB + B^2 \), а первый — \( A + B \). Это снова формула суммы кубов:

\[
A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 — AB + B^2).
\]

Вычислим кубы:

— \( A^3 = (2c)^3 = 8c^3 \),
— \( B^3 = (3d)^3 = 27d^3 \).

Проверим умножением:

\[
\begin{aligned}
(2c + 3d)(4c^2 — 6cd + 9d^2) &= 3d(4c^2 — 6cd + 9d^2) \\
&= 12c^2d — 18cd^2 + 27d^3.
\end{aligned}
\]

Приводим подобные:

— \( -12c^2d + 12c^2d = 0 \),
— \( 18cd^2 — 18cd^2 = 0 \).

Остаётся:
\[
8c^3 + 27d^3.
\]

Следовательно,
\[
(2c + 3d)(4c^2 — 6cd + 9d^2) = 8c^3 + 27d^3.
\]

г) \( (3p + 4q^2)(9p^2 — 12pq^2 + 16q^4) \)

Обозначим \( A = 3p \), \( B = 4q^2 \). Тогда:

— \( A^2 = (3p)^2 = 9p^2 \),
— \( AB = (3p)(4q^2) = 12pq^2 \),
— \( B^2 = (4q^2)^2 = 16q^4 \).

Второй множитель — \( A^2 — AB + B^2 \), первый — \( A + B \). Это соответствует формуле суммы кубов.

Найдём кубы:

— \( A^3 = (3p)^3 = 27p^3 \),
— \( B^3 = (4q^2)^3 = 64q^6 \).

Проверим умножением:

\[
\begin{aligned}
(3p + 4q^2)(9p^2 — 12pq^2 + 16q^4) &= 4q^2(9p^2 — 12pq^2 + 16q^4) \\
&= 36p^2q^2 — 48pq^4 + 64q^6.
\end{aligned}
\]

Приводим подобные:

— \( -36p^2q^2 + 36p^2q^2 = 0 \),
— \( 48pq^4 — 48pq^4 = 0 \).

Остаётся:
\[
27p^3 + 64q^6.
\]

Таким образом,
\[
(3p + 4q^2)(9p^2 — 12pq^2 + 16q^4) = 27p^3 + 64q^6.
\]