ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.13 Мордкович — Подробные Ответы

Представьте в виде куба одночлена заданные выражения: а) \( a^3 b^3\), \( x^6 y^9\), \( 8m^3 n^9\), \( 125k^9 t^{27}\); б) 1p\(\frac{9}{64}\), 27s\(\frac{18}{125}\), 1m\(\frac{12}{343}\), 125a\(\frac{24}{216}\); в) \( 0{,}064 a^3 b^3\), \( 0{,}125 x^9 y^3\), \( 0{,}216 m^8 n^{18}\), \( 0{,}008 p^9 q^{12}\); г) \( 125 x^3 y^6 z^9\), \( 216 a^{12} b^{36} c^{24}\), \( 8 m^6 n^3 p^{12}\), \( 0{,}343 k^9 l^{18} p^{15}\).

а)
\( a^3 b^3 = (ab)^3 \),
\( x^6 y^9 = (x^2 y^3)^3 \),
\( 8m^3 n^9 = (2m n^3)^3 \),
\( 125k^9 t^{27} = (5k^3 t^9)^3 \).

б)
\( \frac{1}{64} p^9 = \left( \frac{1}{4} p^3 \right)^3 \),
\( \frac{27}{125} s^{18} = \left( \frac{3}{5} s^6 \right)^3 \),
\( \frac{1}{343} m^{12} = \left( \frac{1}{7} m^4 \right)^3 \),
\( \frac{125}{216} a^{24} = \left( \frac{5}{6} a^8 \right)^3 \).

в)
\( 0{,}064 a^3 b^3 = (0{,}4 ab)^3 \),
\( 0{,}125 x^9 y^3 = (0{,}5 x^3 y)^3 \),
\( 0{,}216 m^8 n^{18} = (0{,}6 m^2 n^6)^3 \),
\( 0{,}008 p^9 q^{12} = (0{,}2 p^3 q^4)^3 \).

г)
\( 125 x^3 y^6 z^9 = (5 x y^2 z^3)^3 \),
\( 216 a^{12} b^{36} c^{24} = (6 a^4 b^{12} c^8)^3 \),
\( 8 m^6 n^3 p^{12} = (2 m^2 n p^4)^3 \),
\( 0{,}343 k^9 l^{18} p^{15} = (0{,}7 k^3 l^6 p^5)^3 \).

а) Представление произведений в виде куба одночлена

1. \( a^3 b^3 = (ab)^3 \)

По свойству степеней:
\[
(xy)^n = x^n y^n.
\]

Обратно, если имеем произведение одинаковых степеней, можно объединить основания:
\[
a^3 b^3 = (a b)^3.
\]

Поскольку обе переменные возведены в третью степень, их можно записать как куб произведения.

2. \( x^6 y^9 = (x^2 y^3)^3 \)

Разложим показатели степеней на множители, делящиеся на 3:

— \( x^6 = (x^2)^3 \), так как \( 2 \cdot 3 = 6 \);
— \( y^9 = (y^3)^3 \), так как \( 3 \cdot 3 = 9 \).

Тогда:
\[
x^6 y^9 = (x^2)^3 (y^3)^3 = (x^2 y^3)^3,
\]
по свойству \( A^3 B^3 = (AB)^3 \).

3. \( 8m^3 n^9 = (2m n^3)^3 \)

Рассмотрим числовой коэффициент и степени отдельно:

— \( 8 = 2^3 \);
— \( m^3 = (m)^3 \);
— \( n^9 = (n^3)^3 \).

Следовательно:
\[
8m^3 n^9 = 2^3 \cdot m^3 \cdot (n^3)^3 = (2 \cdot m \cdot n^3)^3 = (2m n^3)^3.
\]

4. \( 125k^9 t^{27} = (5k^3 t^9)^3 \)

Анализируем каждый компонент:

— \( 125 = 5^3 \);
— \( k^9 = (k^3)^3 \), поскольку \( 3 \cdot 3 = 9 \);
— \( t^{27} = (t^9)^3 \), так как \( 9 \cdot 3 = 27 \).

Тогда:
\[
125k^9 t^{27} = 5^3 \cdot (k^3)^3 \cdot (t^9)^3 = (5k^3 t^9)^3.
\]

б) Дробные коэффициенты

1. \( \frac{1}{64} p^9 = \left( \frac{1}{4} p^3 \right)^3 \)

Заметим, что:

— \( 64 = 4^3 \), следовательно \( \frac{1}{64} = \left( \frac{1}{4} \right)^3 \);
— \( p^9 = (p^3)^3 \).

Поэтому:
\[
\frac{1}{64} p^9 = \left( \frac{1}{4} \right)^3 (p^3)^3 = \left( \frac{1}{4} p^3 \right)^3.
\]

2. \( \frac{27}{125} s^{18} = \left( \frac{3}{5} s^6 \right)^3 \)

Разложим:

— \( 27 = 3^3 \), \( 125 = 5^3 \), значит \( \frac{27}{125} = \left( \frac{3}{5} \right)^3 \);
— \( s^{18} = (s^6)^3 \), так как \( 6 \cdot 3 = 18 \).

Тогда:
\[
\frac{27}{125} s^{18} = \left( \frac{3}{5} \right)^3 (s^6)^3 = \left( \frac{3}{5} s^6 \right)^3.
\]

3. \( \frac{1}{343} m^{12} = \left( \frac{1}{7} m^4 \right)^3 \)

Поскольку:

— \( 343 = 7^3 \), то \( \frac{1}{343} = \left( \frac{1}{7} \right)^3 \);
— \( m^{12} = (m^4)^3 \), потому что \( 4 \cdot 3 = 12 \).

Следовательно:
\[
\frac{1}{343} m^{12} = \left( \frac{1}{7} \right)^3 (m^4)^3 = \left( \frac{1}{7} m^4 \right)^3.
\]

4. \( \frac{125}{216} a^{24} = \left( \frac{5}{6} a^8 \right)^3 \)

Проверяем:

— \( 125 = 5^3 \), \( 216 = 6^3 \), значит \( \frac{125}{216} = \left( \frac{5}{6} \right)^3 \);
— \( a^{24} = (a^8)^3 \), так как \( 8 \cdot 3 = 24 \).

Тогда:
\[
\frac{125}{216} a^{24} = \left( \frac{5}{6} \right)^3 (a^8)^3 = \left( \frac{5}{6} a^8 \right)^3.
\]

в) Десятичные коэффициенты

> Примечание: в математической записи десятичная запятая обозначается как \( 0{,} \), чтобы не путать с разделителем разрядов.

1. \( 0{,}064 a^3 b^3 = (0{,}4 ab)^3 \)

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную или проверим возведение в куб:

— \( 0{,}4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \);
— \( (0{,}4)^3 = 0{,}064 \), так как \( 4^3 = 64 \), и при делении на \( 10^3 = 1000 \) получаем \( 0{,}064 \);
— \( a^3 b^3 = (ab)^3 \).

Следовательно:
\[
0{,}064 a^3 b^3 = (0{,}4)^3 (ab)^3 = (0{,}4 ab)^3.
\]

2. \( 0{,}125 x^9 y^3 = (0{,}5 x^3 y)^3 \)

Проверяем:

— \( 0{,}5^3 = 0{,}125 \), поскольку \( 5^3 = 125 \), и \( 10^3 = 1000 \), значит \( \frac{125}{1000} = 0{,}125 \);
— \( x^9 = (x^3)^3 \), \( y^3 = (y)^3 \).

Тогда:
\[
0{,}125 x^9 y^3 = (0{,}5)^3 (x^3)^3 y^3 = (0{,}5 x^3 y)^3.
\]

3. \( 0{,}216 m^8 n^{18} = (0{,}6 m^2 n^6)^3 \)

Анализируем:

— \( 0{,}6^3 = 0{,}216 \), так как \( 6^3 = 216 \), и \( 10^3 = 1000 \);
— \( m^8 = (m^2)^3 \cdot m^2 \)? Нет — но здесь ошибка? Проверим:
\( (m^2)^3 = m^6 \), а у нас \( m^8 \). Однако в исходном выражении указано \( 0{,}216 m^8 n^{18} \), а в правой части — \( (0{,}6 m^2 n^6)^3 = 0{,}216 m^6 n^{18} \).

Внимание: здесь возможна опечатка в исходном изображении. Однако, согласно предоставленному тексту, предполагается, что:

\[
(0{,}6 m^2 n^6)^3 = 0{,}216 \cdot m^{6} \cdot n^{18}.
\]

Но в левой части стоит \( m^8 \), а не \( m^6 \). Следовательно, либо в условии ошибка, либо это несоответствие.

Однако, если принять, что в оригинале действительно написано \( m^6 \) (что логично), тогда:

— \( m^6 = (m^2)^3 \),
— \( n^{18} = (n^6)^3 \),
— \( 0{,}6^3 = 0{,}216 \),

и равенство корректно:
\[
0{,}216 m^6 n^{18} = (0{,}6 m^2 n^6)^3.
\]

Примечание: вероятно, в изображении опечатка, и должно быть \( m^6 \), а не \( m^8 \). В рамках данного решения будем считать, что имелось в виду \( m^6 \), так как иначе равенство неверно.

4. \( 0{,}008 p^9 q^{12} = (0{,}2 p^3 q^4)^3 \)

Проверяем:

— \( 0{,}2^3 = 0{,}008 \), поскольку \( 2^3 = 8 \), \( 10^3 = 1000 \);
— \( p^9 = (p^3)^3 \);
— \( q^{12} = (q^4)^3 \).

Тогда:
\[
0{,}008 p^9 q^{12} = (0{,}2)^3 (p^3)^3 (q^4)^3 = (0{,}2 p^3 q^4)^3.
\]

г) Многочлены с несколькими переменными

1. \( 125 x^3 y^6 z^9 = (5 x y^2 z^3)^3 \)

Разложим:

— \( 125 = 5^3 \);
— \( x^3 = (x)^3 \);
— \( y^6 = (y^2)^3 \);
— \( z^9 = (z^3)^3 \).

Следовательно:
\[
125 x^3 y^6 z^9 = 5^3 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3 \cdot (z^3)^3 = (5 x y^2 z^3)^3.
\]

2. \( 216 a^{12} b^{36} c^{24} = (6 a^4 b^{12} c^8)^3 \)

Проверяем:

— \( 216 = 6^3 \);
— \( a^{12} = (a^4)^3 \);
— \( b^{36} = (b^{12})^3 \);
— \( c^{24} = (c^8)^3 \).

Тогда:
\[
216 a^{12} b^{36} c^{24} = (6 a^4 b^{12} c^8)^3.
\]

3. \( 8 m^6 n^3 p^{12} = (2 m^2 n p^4)^3 \)

Анализ:

— \( 8 = 2^3 \);
— \( m^6 = (m^2)^3 \);
— \( n^3 = (n)^3 \);
— \( p^{12} = (p^4)^3 \).

Следовательно:
\[
8 m^6 n^3 p^{12} = (2 m^2 n p^4)^3.
\]

4. \( 0{,}343 k^9 l^{18} p^{15} = (0{,}7 k^3 l^6 p^5)^3 \)

Проверяем:

— \( 0{,}7^3 = 0{,}343 \), так как \( 7^3 = 343 \), и \( 10^3 = 1000 \);
— \( k^9 = (k^3)^3 \);
— \( l^{18} = (l^6)^3 \);
— \( p^{15} = (p^5)^3 \).

Тогда:
\[
0{,}343 k^9 l^{18} p^{15} = (0{,}7 k^3 l^6 p^5)^3.
\]