Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.16 Мордкович — Подробные Ответы
\(а) 64а^3 + 1\); \(б) 27d^3 — 8\); \(в) 512b^3 — 125\); \(г) 216с^3 + 1000\).
а) \( 64a^3 + 1 = (4a + 1)(16a^2 — 4a + 1) \).
б) \( 27d^3 — 8 = (3d — 2)(9d^2 + 6d + 4) \).
в) \( 512b^3 — 125 = (8b — 5)(64b^2 + 40b + 25) \).
г) \( 216c^3 + 1000 = (6c + 10)(36c^2 — 60c + 100) \).
а) \( 64a^3 + 1 = (4a + 1)(16a^2 — 4a + 1) \)
Заметим, что:
— \( 64a^3 = (4a)^3 \), так как \( 4^3 = 64 \);
— \( 1 = 1^3 \).
Следовательно, выражение — сумма кубов:
\[
(4a)^3 + 1^3.
\]
Применяем формулу суммы кубов с \( A = 4a \), \( B = 1 \):
\[
A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 — AB + B^2).
\]
Вычислим каждый член:
— \( A + B = 4a + 1 \),
— \( A^2 = (4a)^2 = 16a^2 \),
— \( AB = 4a \cdot 1 = 4a \),
— \( B^2 = 1^2 = 1 \),
— \( A^2 — AB + B^2 = 16a^2 — 4a + 1 \).
Таким образом,
\[
64a^3 + 1 = (4a + 1)(16a^2 — 4a + 1).
\]
б) \( 27d^3 — 8 = (3d — 2)(9d^2 + 6d + 4) \)
Разложим:
— \( 27d^3 = (3d)^3 \), поскольку \( 3^3 = 27 \);
— \( 8 = 2^3 \).
Получаем разность кубов:
\[
(3d)^3 — 2^3.
\]
Применяем формулу разности кубов с \( A = 3d \), \( B = 2 \):
\[
A^3 — B^3 = (A — B)(A^2 + AB + B^2).
\]
Находим:
— \( A — B = 3d — 2 \),
— \( A^2 = (3d)^2 = 9d^2 \),
— \( AB = 3d \cdot 2 = 6d \),
— \( B^2 = 2^2 = 4 \),
— \( A^2 + AB + B^2 = 9d^2 + 6d + 4 \).
Следовательно,
\[
27d^3 — 8 = (3d — 2)(9d^2 + 6d + 4).
\]
в) \( 512b^3 — 125 = (8b — 5)(64b^2 + 40b + 25) \)
Проверим:
— \( 512 = 8^3 \), так как \( 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512 \);
— \( 125 = 5^3 \).
Тогда:
\[
512b^3 — 125 = (8b)^3 — 5^3.
\]
Используем формулу разности кубов с \( A = 8b \), \( B = 5 \):
— \( A — B = 8b — 5 \),
— \( A^2 = (8b)^2 = 64b^2 \),
— \( AB = 8b \cdot 5 = 40b \),
— \( B^2 = 5^2 = 25 \),
— \( A^2 + AB + B^2 = 64b^2 + 40b + 25 \).
Таким образом,
\[
512b^3 — 125 = (8b — 5)(64b^2 + 40b + 25).
\]
г) \( 216c^3 + 1000 = (6c + 10)(36c^2 — 60c + 100) \)
Разложим:
— \( 216 = 6^3 \), следовательно, \( 216c^3 = (6c)^3 \);
— \( 1000 = 10^3 \).
Тогда:
\[
216c^3 + 1000 = (6c)^3 + 10^3.
\]
Применяем формулу суммы кубов с \( A = 6c \), \( B = 10 \):
— \( A + B = 6c + 10 \),
— \( A^2 = (6c)^2 = 36c^2 \),
— \( AB = 6c \cdot 10 = 60c \),
— \( B^2 = 10^2 = 100 \),
— \( A^2 — AB + B^2 = 36c^2 — 60c + 100 \).
Следовательно,
\[
216c^3 + 1000 = (6c + 10)(36c^2 — 60c + 100).
\]
