ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.27 Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение: а) x² — 24х + 144 = 0; б) 25x² + 60x + 36 = 0; в) x²  + 32х + 256 = 0; г) 9x² — 42x + 49 = 0.

а)
\( x^2 — 24x + 144 = 0 \)
\( (x — 12)^2 = 0 \)
\( x — 12 = 0 \)
\( x = 12 \).
Ответ: \( x = 12 \).

б)
\( 25x^2 + 60x + 36 = 0 \)
\( (5x + 6)^2 = 0 \)
\( 5x + 6 = 0 \)
\( 5x = -6 \)
\( x = -1{,}2 \).
Ответ: \( x = -1{,}2 \).

в)
\( x^2 + 32x + 256 = 0 \)
\( (x + 16)^2 = 0 \)
\( x + 16 = 0 \)
\( x = -16 \).
Ответ: \( x = -16 \).

г)
\( 9x^2 — 42x + 49 = 0 \)
\( (3x — 7)^2 = 0 \)
\( 3x — 7 = 0 \)
\( 3x = 7 \)
\( x = \frac{7}{3} \)
\( x = 2\frac{1}{3} \).
Ответ: \( x = 2\frac{1}{3} \).

а) \( x^2 — 24x + 144 = 0 \)

Рассмотрим левую часть уравнения. Проверим, является ли она полным квадратом двучлена.

Общий вид полного квадрата:
\[
(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2.
\]

Сравним:
— Первый член: \( x^2 = (x)^2 \);
— Последний член: \( 144 = 12^2 \);
— Средний член: \( -24x = -2 \cdot x \cdot 12 \).

Все три компонента совпадают с формулой \( (x — 12)^2 \). Следовательно,
\[
x^2 — 24x + 144 = (x — 12)^2.
\]

Подставляем в уравнение:
\[
(x — 12)^2 = 0.
\]

Квадрат выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю:
\[
x — 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 12.
\]

Уравнение имеет единственный корень (кратности два).

Ответ: \( x = 12 \).

б) \( 25x^2 + 60x + 36 = 0 \)

Анализируем левую часть. Заметим:

— \( 25x^2 = (5x)^2 \);
— \( 36 = 6^2 \);
— Средний член: \( 60x = 2 \cdot 5x \cdot 6 \).

Это соответствует формуле квадрата суммы:
\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,
\]

где \( a = 5x \), \( b = 6 \).

Следовательно,
\[
25x^2 + 60x + 36 = (5x + 6)^2.
\]

Уравнение принимает вид:
\[
(5x + 6)^2 = 0.
\]

Приравниваем основание к нулю:
\[
5x + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad 5x = -6 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{6}{5}.
\]

Десятичная форма: \( -\frac{6}{5} = -1{,}2 \).

Уравнение имеет единственный корень.

Ответ: \( x = -1{,}2 \).

в) \( x^2 + 32x + 256 = 0 \)

Проверим, является ли левая часть полным квадратом.

— \( x^2 = (x)^2 \);
— \( 256 = 16^2 \);
— Средний член: \( 32x = 2 \cdot x \cdot 16 \).

Это соответствует формуле:
\[
(x + 16)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 16 + 16^2 = x^2 + 32x + 256.
\]

Следовательно,
\[
x^2 + 32x + 256 = (x + 16)^2.
\]

Уравнение:
\[
(x + 16)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x + 16 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -16.
\]

Ответ: \( x = -16 \).

г) \( 9x^2 — 42x + 49 = 0 \)

Анализируем коэффициенты:

— \( 9x^2 = (3x)^2 \);
— \( 49 = 7^2 \);
— Средний член: \( -42x = -2 \cdot 3x \cdot 7 \).

Это соответствует формуле квадрата разности:
\[
(3x — 7)^2 = (3x)^2 — 2 \cdot 3x \cdot 7 + 7^2 = 9x^2 — 42x + 49.
\]

Таким образом,
\[
9x^2 — 42x + 49 = (3x — 7)^2.
\]

Уравнение:
\[
(3x — 7)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x — 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x = 7 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7}{3}.
\]

Число \( \frac{7}{3} \) можно записать в виде смешанной дроби:
\[
\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}.
\]

Ответ: \( x = 2\frac{1}{3} \).