ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.31 Мордкович — Подробные Ответы

\(а) (у + 2)^2 — 4у^2\); \(б) 100а^2 — (5а + 9)^2\); \(в) (t — 7)^2 — 9t^2\); \(г) 121b^2 — (7b — 3)^2\).

а)
\[
(y + 2)^2 — 4y^2 = (y + 2 — 2y)(y + 2 + 2y) =
\]

\[
= (2 — y)(2 + 3y).
\]

б)
\[
100a^2 — (5a + 9)^2 = (10a — 5a — 9)(10a + 5a + 9) =
\]

\[
= (5a — 9)(15a + 9) = 3(5a — 9)(5a + 3).
\]

в)
\[
(t — 7)^2 — 9t^2 = (t — 7 — 3t)(t — 7 + 3t) =
\]

\[
= (-2t — 7)(4t — 7) = -(2t + 7)(4t — 7).
\]

г)
\[
121b^2 — (7b — 3)^2 = (11b — 7b + 3)(11b + 7b — 3) =
\]

\[
= (4b + 3)(18b — 3) = 3(4b + 3)(6b — 1).
\]

а) \( (y + 2)^2 — 4y^2 \)

Заметим, что выражение имеет вид разности двух квадратов:
\[
A^2 — B^2, \quad \text{где } A = y + 2, \; B = 2y,
\]
поскольку \( 4y^2 = (2y)^2 \).

Применяем формулу разности квадратов:
\[
A^2 — B^2 = (A — B)(A + B).
\]

Подставляем:
\[
(y + 2)^2 — (2y)^2 = \big[(y + 2) — 2y\big] \big[(y + 2) + 2y\big].
\]

Упрощаем каждый множитель:

— Первый: \( y + 2 — 2y = -y + 2 = 2 — y \);
— Второй: \( y + 2 + 2y = 3y + 2 = 2 + 3y \).

Таким образом,
\[
(y + 2)^2 — 4y^2 = (2 — y)(2 + 3y).
\]

Это окончательный результат. Дополнительного вынесения общих множителей не требуется.

б) \( 100a^2 — (5a + 9)^2 \)

Выражение также представляет собой разность квадратов:
\[
A^2 — B^2, \quad \text{где } A = 10a \; (\text{так как } 100a^2 = (10a)^2), \; B = 5a + 9.
\]

Применяем формулу:
\[
(10a)^2 — (5a + 9)^2 = \big[10a — (5a + 9)\big] \big[10a + (5a + 9)\big].
\]

Раскрываем скобки в каждом множителе:

— Первый: \( 10a — 5a — 9 = 5a — 9 \);
— Второй: \( 10a + 5a + 9 = 15a + 9 \).

Получаем:
\[
(5a — 9)(15a + 9).
\]

Заметим, что во втором множителе можно вынести общий числовой множитель \( 3 \):
\[
15a + 9 = 3(5a + 3).
\]

Следовательно, всё выражение принимает вид:
\[
(5a — 9) \cdot 3(5a + 3) = 3(5a — 9)(5a + 3).
\]

Это упрощённая форма с вынесенным наибольшим общим числовым множителем.

в) \( (t — 7)^2 — 9t^2 \)

Запишем как разность квадратов:
\[
A^2 — B^2, \quad \text{где } A = t — 7, \; B = 3t \; (\text{поскольку } 9t^2 = (3t)^2).
\]

Применяем формулу:
\[
(t — 7)^2 — (3t)^2 = \big[(t — 7) — 3t\big] \big[(t — 7) + 3t\big].
\]

Упрощаем:

— Первый множитель: \( t — 7 — 3t = -2t — 7 \);
— Второй множитель: \( t — 7 + 3t = 4t — 7 \).

Получаем:
\[
(-2t — 7)(4t — 7).
\]

В первом множителе выносим знак «минус»:
\[
-2t — 7 = -(2t + 7).
\]

Тогда всё выражение:
\[
-(2t + 7)(4t — 7).
\]

Эта форма предпочтительна, так как первый двучлен записан со старшим положительным коэффициентом.

г) \( 121b^2 — (7b — 3)^2 \)

Представим как разность квадратов:
\[
A^2 — B^2, \quad \text{где } A = 11b \; (\text{поскольку } 121b^2 = (11b)^2), \; B = 7b — 3.
\]

Применяем формулу:
\[
(11b)^2 — (7b — 3)^2 = \big[11b — (7b — 3)\big] \big[11b + (7b — 3)\big].
\]

Раскрываем скобки:

— Первый множитель: \( 11b — 7b + 3 = 4b + 3 \);
— Второй множитель: \( 11b + 7b — 3 = 18b — 3 \).

Получаем:
\[
(4b + 3)(18b — 3).
\]

Во втором множителе выносим общий множитель \( 3 \):
\[
18b — 3 = 3(6b — 1).
\]

Следовательно, всё выражение:
\[
(4b + 3) \cdot 3(6b — 1) = 3(4b + 3)(6b — 1).
\]

Это окончательный упрощённый результат.