ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.34 Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение: а) 1a\(\frac{2}{16}\) — \(\frac{1}{25}\)=0; б) \(\frac{4b}{49}\) — \(\frac{16}{121}\)=0; в) 9c\(\frac{2}{16}\) — \(\frac{81}{100}\)=0; г) 36d\(\frac{2}{1225}\) — \(\frac{64}{441}\)=0.

а)
\[
\frac{1}{16}a^2 — \frac{1}{25} = 0
\]

\[
\left( \frac{1}{4}a — \frac{1}{5} \right) \left( \frac{1}{4}a + \frac{1}{5} \right) = 0
\]

\[
\frac{1}{4}a = \frac{1}{5}, \quad \frac{1}{4}a = -\frac{1}{5}
\]

\[
a = \frac{1}{5} \cdot 4, \quad a = -\frac{1}{5} \cdot 4
\]

\[
a = 0{,}8, \quad a = -0{,}8.
\]

Ответ: \( a = \pm 0{,}8 \).

б)
\[
\frac{9}{16}c^2 — \frac{81}{100} = 0
\]

\[
\left( \frac{3}{4}c — \frac{9}{10} \right) \left( \frac{3}{4}c + \frac{9}{10} \right) = 0
\]

\[
\frac{3}{4}c = \frac{9}{10}, \quad \frac{3}{4}c = -\frac{9}{10}
\]

\[
c = \frac{9}{10} \cdot \frac{4}{3}, \quad c = -\frac{9}{10} \cdot \frac{4}{3}
\]

\[
c = \frac{12}{10}, \quad c = -\frac{12}{10}
\]

\[
c = 1{,}2, \quad c = -1{,}2.
\]

Ответ: \( c = \pm 1{,}2 \).

в)
\[
\frac{4}{49}b^2 — \frac{16}{121} = 0
\]

\[
\left( \frac{2}{7}b — \frac{4}{11} \right) \left( \frac{2}{7}b + \frac{4}{11} \right) = 0
\]

\[
\frac{2}{7}b = \frac{4}{11}, \quad \frac{2}{7}b = -\frac{4}{11}
\]

\[
b = \frac{4}{11} \cdot \frac{7}{2}, \quad b = -\frac{4}{11} \cdot \frac{7}{2}
\]

\[
b = \frac{14}{11}, \quad b = -\frac{14}{11}
\]

\[
b = 1\frac{3}{11}, \quad b = -1\frac{3}{11}.
\]

Ответ: \( b = \pm 1\frac{3}{11} \).

г)
\[
\frac{36}{1225}d^2 — \frac{64}{441} = 0
\]

\[
\left( \frac{6}{35}d — \frac{8}{21} \right) \left( \frac{6}{35}d + \frac{8}{21} \right) = 0
\]

\[
\frac{6}{35}d = \frac{8}{21}, \quad \frac{6}{35}d = -\frac{8}{21}
\]

\[
d = \frac{8}{21} \cdot \frac{35}{6}, \quad d = -\frac{8}{21} \cdot \frac{35}{6}
\]

\[
d = \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{3}, \quad d = -\frac{4}{3} \cdot \frac{5}{3}
\]

\[
d = \frac{20}{9} = 2\frac{2}{9}, \quad d = -2\frac{2}{9}.
\]

Ответ: \( d = \pm 2\frac{2}{9} \).

а) \( \frac{1}{16}a^2 — \frac{1}{25} = 0 \)

Заметим, что оба слагаемых являются точными квадратами:

— \( \frac{1}{16}a^2 = \left( \frac{1}{4}a \right)^2 \), поскольку \( \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16} \);
— \( \frac{1}{25} = \left( \frac{1}{5} \right)^2 \).

Следовательно, уравнение можно переписать как:
\[
\left( \frac{1}{4}a \right)^2 — \left( \frac{1}{5} \right)^2 = 0.
\]

Применяем формулу разности квадратов:
\[
\left( \frac{1}{4}a — \frac{1}{5} \right)\left( \frac{1}{4}a + \frac{1}{5} \right) = 0.
\]

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Рассмотрим оба случая.

Случай 1:
\[
\frac{1}{4}a — \frac{1}{5} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{4}a = \frac{1}{5}.
\]

Умножаем обе части на 4:
\[
a = \frac{1}{5} \cdot 4 = \frac{4}{5} = 0{,}8.
\]

Случай 2:
\[
\frac{1}{4}a + \frac{1}{5} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{4}a = -\frac{1}{5}.
\]

Умножаем обе части на 4:
\[
a = -\frac{1}{5} \cdot 4 = -\frac{4}{5} = -0{,}8.
\]

Таким образом, уравнение имеет два корня, симметричных относительно нуля.

Ответ: \( a = \pm 0{,}8 \).

б) \( \frac{9}{16}c^2 — \frac{81}{100} = 0 \)

Представим оба члена как квадраты:

— \( \frac{9}{16}c^2 = \left( \frac{3}{4}c \right)^2 \), так как \( \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{9}{16} \);
— \( \frac{81}{100} = \left( \frac{9}{10} \right)^2 \), поскольку \( 9^2 = 81 \), \( 10^2 = 100 \).

Уравнение принимает вид:
\[
\left( \frac{3}{4}c \right)^2 — \left( \frac{9}{10} \right)^2 = 0.
\]

Применяем формулу разности квадратов:
\[
\left( \frac{3}{4}c — \frac{9}{10} \right)\left( \frac{3}{4}c + \frac{9}{10} \right) = 0.
\]

Решаем каждое уравнение отдельно.

Случай 1:
\[
\frac{3}{4}c = \frac{9}{10} \quad \Rightarrow \quad c = \frac{9}{10} \cdot \frac{4}{3} = \frac{36}{30} = \frac{6}{5} = 1{,}2.
\]

Случай 2:
\[
\frac{3}{4}c = -\frac{9}{10} \quad \Rightarrow \quad c = -\frac{9}{10} \cdot \frac{4}{3} = -\frac{36}{30} = -\frac{6}{5} = -1{,}2.
\]

Ответ: \( c = \pm 1{,}2 \).

в) \( \frac{4}{49}b^2 — \frac{16}{121} = 0 \)

Проверяем, являются ли члены квадратами:

— \( \frac{4}{49}b^2 = \left( \frac{2}{7}b \right)^2 \), так как \( 2^2 = 4 \), \( 7^2 = 49 \);
— \( \frac{16}{121} = \left( \frac{4}{11} \right)^2 \), поскольку \( 4^2 = 16 \), \( 11^2 = 121 \).

Уравнение:
\[
\left( \frac{2}{7}b \right)^2 — \left( \frac{4}{11} \right)^2 = 0.
\]

Разложение на множители:
\[
\left( \frac{2}{7}b — \frac{4}{11} \right)\left( \frac{2}{7}b + \frac{4}{11} \right) = 0.
\]

Случай 1:
\[
\frac{2}{7}b = \frac{4}{11} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{4}{11} \cdot \frac{7}{2} = \frac{28}{22} = \frac{14}{11} = 1\frac{3}{11}.
\]

Случай 2:
\[
\frac{2}{7}b = -\frac{4}{11} \quad \Rightarrow \quad b = -\frac{4}{11} \cdot \frac{7}{2} = -\frac{28}{22} = -\frac{14}{11} = -1\frac{3}{11}.
\]

Ответ: \( b = \pm 1\frac{3}{11} \).

г) \( \frac{36}{1225}d^2 — \frac{64}{441} = 0 \)

Анализируем коэффициенты:

— \( \frac{36}{1225} = \left( \frac{6}{35} \right)^2 \), так как \( 6^2 = 36 \), \( 35^2 = 1225 \);
— \( \frac{64}{441} = \left( \frac{8}{21} \right)^2 \), поскольку \( 8^2 = 64 \), \( 21^2 = 441 \).

Следовательно,
\[
\left( \frac{6}{35}d \right)^2 — \left( \frac{8}{21} \right)^2 = 0.
\]

Применяем формулу разности квадратов:
\[
\left( \frac{6}{35}d — \frac{8}{21} \right)\left( \frac{6}{35}d + \frac{8}{21} \right) = 0.
\]

Решаем оба уравнения.

Случай 1:
\[
\frac{6}{35}d = \frac{8}{21}.
\]

Умножаем обе части на обратную дробь \( \frac{35}{6} \):
\[
d = \frac{8}{21} \cdot \frac{35}{6}.
\]

Упростим произведение. Разложим числители и знаменатели на множители:

— \( 8 = 2^3 \), \( 35 = 5 \cdot 7 \);
— \( 21 = 3 \cdot 7 \), \( 6 = 2 \cdot 3 \).

Тогда:
\[
d = \frac{8 \cdot 35}{21 \cdot 6} = \frac{(2^3)(5 \cdot 7)}{(3 \cdot 7)(2 \cdot 3)} = \frac{2^2 \cdot 5}{3^2} = \frac{4 \cdot 5}{9} = \frac{20}{9} = 2\frac{2}{9}.
\]

Случай 2:
\[
\frac{6}{35}d = -\frac{8}{21} \quad \Rightarrow \quad d = -\frac{8}{21} \cdot \frac{35}{6} = -\frac{20}{9} = -2\frac{2}{9}.
\]

Ответ: \( d = \pm 2\frac{2}{9} \).