ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.39 Мордкович — Подробные Ответы

Разложите многочлен на множители: а) 1a\(\frac{3}{8}\) — 8b\(\frac{3}{27}\); б) 64c\(\frac{3}{343}\)+ 729d\(\frac{3}{1000}\); в) 125x\(\frac{3}{512}\) — 216y\(\frac{3}{343}\); г) 1m\(\frac{3}{729}\) + 125n\(\frac{3}{216}\).

а)
\[
\frac{1}{8}a^3 — \frac{8}{27}b^3 = \left( \frac{1}{2}a — \frac{2}{3}b \right)
\]

\[
\left( \frac{1}{4}a^2 + \frac{1}{3}ab + \frac{4}{9}b^2 \right).
\]

б)
\[
\frac{64}{343}c^3 + \frac{729}{1000}d^3 = \left( \frac{4}{7}c + \frac{9}{10}d \right)
\]

\[
\left( \frac{16}{49}c^2 — \frac{18}{35}cd + \frac{81}{100}d^2 \right).
\]

в)
\[
\frac{125}{512}x^3 — \frac{216}{343}y^3 = \left( \frac{5}{8}x — \frac{6}{7}y \right)
\]

\[
\left( \frac{25}{64}x^2 + \frac{15}{28}xy + \frac{36}{49}y^2 \right).
\]

г)
\[
\frac{1}{729}m^3 + \frac{125}{216}n^3 = \left( \frac{1}{9}m + \frac{5}{6}n \right)
\]

\[
\left( \frac{1}{81}m^2 — \frac{5}{54}mn + \frac{25}{36}n^2 \right).
\]

а) \( \frac{1}{8}a^3 — \frac{8}{27}b^3 \)

Представим каждый член как куб:

— \( \frac{1}{8}a^3 = \left( \frac{1}{2}a \right)^3 \), так как \( \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8} \);
— \( \frac{8}{27}b^3 = \left( \frac{2}{3}b \right)^3 \), поскольку \( \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{8}{27} \).

Следовательно, выражение — разность кубов:
\[
\left( \frac{1}{2}a \right)^3 — \left( \frac{2}{3}b \right)^3.
\]

Применяем формулу разности кубов:
\[
A^3 — B^3 = (A — B)(A^2 + AB + B^2),
\]

где \( A = \frac{1}{2}a \), \( B = \frac{2}{3}b \).

Вычислим компоненты:

— \( A — B = \frac{1}{2}a — \frac{2}{3}b \);
— \( A^2 = \left( \frac{1}{2}a \right)^2 = \frac{1}{4}a^2 \);
— \( AB = \frac{1}{2}a \cdot \frac{2}{3}b = \frac{1}{3}ab \);
— \( B^2 = \left( \frac{2}{3}b \right)^2 = \frac{4}{9}b^2 \);
— \( A^2 + AB + B^2 = \frac{1}{4}a^2 + \frac{1}{3}ab + \frac{4}{9}b^2 \).

Таким образом,
\[
\frac{1}{8}a^3 — \frac{8}{27}b^3 = \left( \frac{1}{2}a — \frac{2}{3}b \right)\left( \frac{1}{4}a^2 + \frac{1}{3}ab + \frac{4}{9}b^2 \right).
\]

б) \( \frac{64}{343}c^3 + \frac{729}{1000}d^3 \)

Проверим, являются ли слагаемые кубами:

— \( \frac{64}{343} = \left( \frac{4}{7} \right)^3 \), так как \( 4^3 = 64 \), \( 7^3 = 343 \);
— \( \frac{729}{1000} = \left( \frac{9}{10} \right)^3 \), поскольку \( 9^3 = 729 \), \( 10^3 = 1000 \).

Следовательно,
\[
\frac{64}{343}c^3 + \frac{729}{1000}d^3 = \left( \frac{4}{7}c \right)^3 + \left( \frac{9}{10}d \right)^3.
\]

Это сумма кубов. Применяем формулу:
\[
A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 — AB + B^2),
\]

где \( A = \frac{4}{7}c \), \( B = \frac{9}{10}d \).

Вычислим:

— \( A + B = \frac{4}{7}c + \frac{9}{10}d \);
— \( A^2 = \left( \frac{4}{7}c \right)^2 = \frac{16}{49}c^2 \);
— \( AB = \frac{4}{7}c \cdot \frac{9}{10}d = \frac{36}{70}cd = \frac{18}{35}cd \);
— \( B^2 = \left( \frac{9}{10}d \right)^2 = \frac{81}{100}d^2 \);
— \( A^2 — AB + B^2 = \frac{16}{49}c^2 — \frac{18}{35}cd + \frac{81}{100}d^2 \).

Итак,
\[
\frac{64}{343}c^3 + \frac{729}{1000}d^3 = \left( \frac{4}{7}c + \frac{9}{10}d \right)\left( \frac{16}{49}c^2 — \frac{18}{35}cd + \frac{81}{100}d^2 \right).
\]

в) \( \frac{125}{512}x^3 — \frac{216}{343}y^3 \)

Разложим на кубы:

— \( \frac{125}{512} = \left( \frac{5}{8} \right)^3 \), так как \( 5^3 = 125 \), \( 8^3 = 512 \);
— \( \frac{216}{343} = \left( \frac{6}{7} \right)^3 \), поскольку \( 6^3 = 216 \), \( 7^3 = 343 \).

Получаем разность кубов:
\[
\left( \frac{5}{8}x \right)^3 — \left( \frac{6}{7}y \right)^3.
\]

Применяем формулу разности кубов с \( A = \frac{5}{8}x \), \( B = \frac{6}{7}y \):

— \( A — B = \frac{5}{8}x — \frac{6}{7}y \);
— \( A^2 = \left( \frac{5}{8}x \right)^2 = \frac{25}{64}x^2 \);
— \( AB = \frac{5}{8}x \cdot \frac{6}{7}y = \frac{30}{56}xy = \frac{15}{28}xy \);
— \( B^2 = \left( \frac{6}{7}y \right)^2 = \frac{36}{49}y^2 \);
— \( A^2 + AB + B^2 = \frac{25}{64}x^2 + \frac{15}{28}xy + \frac{36}{49}y^2 \).

Следовательно,
\[
\frac{125}{512}x^3 — \frac{216}{343}y^3 = \left( \frac{5}{8}x — \frac{6}{7}y \right)\left( \frac{25}{64}x^2 + \frac{15}{28}xy + \frac{36}{49}y^2 \right).
\]

г) \( \frac{1}{729}m^3 + \frac{125}{216}n^3 \)

Проверим кубы:

— \( \frac{1}{729} = \left( \frac{1}{9} \right)^3 \), так как \( 9^3 = 729 \);
— \( \frac{125}{216} = \left( \frac{5}{6} \right)^3 \), поскольку \( 5^3 = 125 \), \( 6^3 = 216 \).

Выражение — сумма кубов:
\[
\left( \frac{1}{9}m \right)^3 + \left( \frac{5}{6}n \right)^3.
\]

Применяем формулу суммы кубов с \( A = \frac{1}{9}m \), \( B = \frac{5}{6}n \):

— \( A + B = \frac{1}{9}m + \frac{5}{6}n \);
— \( A^2 = \left( \frac{1}{9}m \right)^2 = \frac{1}{81}m^2 \);
— \( AB = \frac{1}{9}m \cdot \frac{5}{6}n = \frac{5}{54}mn \);
— \( B^2 = \left( \frac{5}{6}n \right)^2 = \frac{25}{36}n^2 \);
— \( A^2 — AB + B^2 = \frac{1}{81}m^2 — \frac{5}{54}mn + \frac{25}{36}n^2 \).

Поэтому,
\[
\frac{1}{729}m^3 + \frac{125}{216}n^3 = \left( \frac{1}{9}m + \frac{5}{6}n \right)
\]

\[
\left( \frac{1}{81}m^2 — \frac{5}{54}mn + \frac{25}{36}n^2 \right).
\]