ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.40 Мордкович — Подробные Ответы

а) \(a^6-8; б) -x^6\)+\(\frac{1}{8}\); в) \(27+b^9\); г) -\(\frac{1}{64}-y^6\).

а) \( a^6 — 8 = (a^2 — 2)(a^4 + 2a^2 + 4) \).

б) \( -x^6 + \frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} — x^2 \right)\left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2}x^2 + x^4 \right) \).

в) \( 27 + b^9 = (3 + b^3)(9 — 3b^3 + b^6) \).

г) \( -\frac{1}{64} — y^6 = -\left( \frac{1}{4} + y^2 \right)\left( \frac{1}{16} — \frac{1}{4}y^2 + y^4 \right) \).

а) \( a^6 — 8 \)

Заметим, что оба члена являются точными кубами:

— \( a^6 = (a^2)^3 \), поскольку \( (a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6 \);
— \( 8 = 2^3 \).

Следовательно, исходное выражение — разность кубов:
\[
(a^2)^3 — 2^3.
\]

Применяем формулу разности кубов:
\[
A^3 — B^3 = (A — B)(A^2 + AB + B^2),
\]

где \( A = a^2 \), \( B = 2 \).

Вычислим компоненты:

— \( A — B = a^2 — 2 \);
— \( A^2 = (a^2)^2 = a^4 \);
— \( AB = a^2 \cdot 2 = 2a^2 \);
— \( B^2 = 2^2 = 4 \);
— \( A^2 + AB + B^2 = a^4 + 2a^2 + 4 \).

Таким образом,
\[
a^6 — 8 = (a^2 — 2)(a^4 + 2a^2 + 4).
\]

б) \( -x^6 + \frac{1}{8} \)

Перепишем выражение в стандартном порядке:
\[
\frac{1}{8} — x^6.
\]

Проверим, являются ли члены кубами:

— \( \frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^3 \);
— \( x^6 = (x^2)^3 \).

Следовательно,
\[
\frac{1}{8} — x^6 = \left( \frac{1}{2} \right)^3 — (x^2)^3,
\]
то есть это разность кубов с \( A = \frac{1}{2} \), \( B = x^2 \).

Применяем формулу:
\[
A^3 — B^3 = (A — B)(A^2 + AB + B^2).
\]

Вычислим:

— \( A — B = \frac{1}{2} — x^2 \);
— \( A^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \);
— \( AB = \frac{1}{2} \cdot x^2 = \frac{1}{2}x^2 \);
— \( B^2 = (x^2)^2 = x^4 \);
— \( A^2 + AB + B^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}x^2 + x^4 \).

Следовательно,
\[
-x^6 + \frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} — x^2 \right)\left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2}x^2 + x^4 \right).
\]

в) \( 27 + b^9 \)

Рассмотрим степени:

— \( 27 = 3^3 \);
— \( b^9 = (b^3)^3 \), так как \( (b^3)^3 = b^{3 \cdot 3} = b^9 \).

Исходное выражение — сумма кубов:
\[
3^3 + (b^3)^3.
\]

Применяем формулу суммы кубов:
\[
A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 — AB + B^2),
\]
где \( A = 3 \), \( B = b^3 \).

Вычислим:

— \( A + B = 3 + b^3 \);
— \( A^2 = 3^2 = 9 \);
— \( AB = 3 \cdot b^3 = 3b^3 \);
— \( B^2 = (b^3)^2 = b^6 \);
— \( A^2 — AB + B^2 = 9 — 3b^3 + b^6 \).

Поэтому,
\[
27 + b^9 = (3 + b^3)(9 — 3b^3 + b^6).
\]

г) \( -\frac{1}{64} — y^6 \)

Вынесем общий множитель \( -1 \):
\[
-\frac{1}{64} — y^6 = -\left( \frac{1}{64} + y^6 \right).
\]

Теперь рассмотрим выражение в скобках. Проверим, являются ли слагаемые кубами:

— \( \frac{1}{64} = \left( \frac{1}{4} \right)^3 \), так как \( 4^3 = 64 \);
— \( y^6 = (y^2)^3 \).

Следовательно,
\[
\frac{1}{64} + y^6 = \left( \frac{1}{4} \right)^3 + (y^2)^3,
\]
то есть это сумма кубов с \( A = \frac{1}{4} \), \( B = y^2 \).

Применяем формулу суммы кубов:
\[
A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 — AB + B^2).
\]

Вычислим:

— \( A + B = \frac{1}{4} + y^2 \);
— \( A^2 = \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16} \);
— \( AB = \frac{1}{4} \cdot y^2 = \frac{1}{4}y^2 \);
— \( B^2 = (y^2)^2 = y^4 \);
— \( A^2 — AB + B^2 = \frac{1}{16} — \frac{1}{4}y^2 + y^4 \).

Тогда:
\[
\frac{1}{64} + y^6 = \left( \frac{1}{4} + y^2 \right)\left( \frac{1}{16} — \frac{1}{4}y^2 + y^4 \right).
\]

Возвращая вынесенный минус, получаем:
\[
-\frac{1}{64} — y^6 = -\left( \frac{1}{4} + y^2 \right)\left( \frac{1}{16} — \frac{1}{4}y^2 + y^4 \right).
\]