ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.41 Мордкович — Подробные Ответы

\(а) х^3у^3 — с^3\); \(б) m^6n^3 + р^12\); \(в) а^3 + m^3n^9\); \(г) q^3 — c^15d^18\).

а)
\( x^3y^3 — c^3 = (xy)^3 — c^3 = (xy — c)((xy)^2 + xyc + c^2) =\)

\((xy — c)(x^2y^2 + xyc + c^2) \)

б)
\( m^6n^3 + p^{12} = (m^2n)^3 + (p^4)^3 = (m^2n + p^4)((m^2n)^2 — m^2np^4 + (p^4)^2) =\)

\((m^2n + p^4)(m^4n^2 — m^2np^4 + p^8) \)

в)
\( a^3 + m^3n^9 = a^3 + (mn^3)^3 = (a + mn^3)(a^2 — amn^3 + (mn^3)^2) =\)

\((a + mn^3)(a^2 — amn^3 + m^2n^6) \)

г)
\( q^3 — c^{15}d^{18} = q^3 — (c^5d^6)^3 = (q — c^5d^6)(q^2 + qc^5d^6 + (c^5d^6)^2) =\)

\((q — c^5d^6)(q^2 + qc^5d^6 + c^{10}d^{12}) \)

а) \( x^3y^3 — c^3 \)

Сначала заметим, что первый член является произведением кубов:
\[
x^3y^3 = (xy)^3,
\]

поскольку по свойству степеней \( (xy)^3 = x^3 y^3 \). Второй член — \( c^3 \) — также является кубом.

Таким образом, всё выражение представляет собой разность кубов:
\[
(xy)^3 — c^3.
\]

Применяем формулу разности кубов:
\[
A^3 — B^3 = (A — B)(A^2 + AB + B^2),
\]

где \( A = xy \), \( B = c \).

Вычислим каждый компонент:

— \( A — B = xy — c \);
— \( A^2 = (xy)^2 = x^2 y^2 \);
— \( AB = xy \cdot c = xyc \);
— \( B^2 = c^2 \);
— \( A^2 + AB + B^2 = x^2 y^2 + xyc + c^2 \).

Следовательно,
\[
x^3 y^3 — c^3 = (xy — c)(x^2 y^2 + xyc + c^2).
\]

Это окончательное разложение на множители.

б) \( m^6 n^3 + p^{12} \)

Рассмотрим степени каждой переменной:

— \( m^6 n^3 = (m^2)^3 \cdot n^3 = (m^2 n)^3 \), так как \( (m^2 n)^3 = m^{2 \cdot 3} n^{1 \cdot 3} = m^6 n^3 \);
— \( p^{12} = (p^4)^3 \), поскольку \( 4 \cdot 3 = 12 \).

Таким образом, исходное выражение — сумма кубов:
\[
(m^2 n)^3 + (p^4)^3.
\]

Применяем формулу суммы кубов:
\[
A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 — AB + B^2),
\]

где \( A = m^2 n \), \( B = p^4 \).

Вычислим компоненты:

— \( A + B = m^2 n + p^4 \);
— \( A^2 = (m^2 n)^2 = m^4 n^2 \);
— \( AB = m^2 n \cdot p^4 = m^2 n p^4 \);
— \( B^2 = (p^4)^2 = p^8 \);
— \( A^2 — AB + B^2 = m^4 n^2 — m^2 n p^4 + p^8 \).

Поэтому,
\[
m^6 n^3 + p^{12} = (m^2 n + p^4)(m^4 n^2 — m^2 n p^4 + p^8).
\]

в)\( a^3 + m^3 n^9 \)

Анализируем второй член:

— \( m^3 n^9 = m^3 \cdot (n^3)^3 = (m n^3)^3 \), поскольку \( (m n^3)^3 = m^3 n^{9} \).

Первый член — \( a^3 \) — уже является кубом. Следовательно, выражение — **сумма кубов**:
\[
a^3 + (m n^3)^3.
\]

Применяем формулу суммы кубов с \( A = a \), \( B = m n^3 \):

— \( A + B = a + m n^3 \);
— \( A^2 = a^2 \);
— \( AB = a \cdot m n^3 = a m n^3 \);
— \( B^2 = (m n^3)^2 = m^2 n^6 \);
— \( A^2 — AB + B^2 = a^2 — a m n^3 + m^2 n^6 \).

Таким образом,
\[
a^3 + m^3 n^9 = (a + m n^3)(a^2 — a m n^3 + m^2 n^6).
\]

г) \( q^3 — c^{15} d^{18} \)

Рассмотрим второй член:

— \( c^{15} = (c^5)^3 \), так как \( 5 \cdot 3 = 15 \);
— \( d^{18} = (d^6)^3 \), поскольку \( 6 \cdot 3 = 18 \);
— Следовательно, \( c^{15} d^{18} = (c^5 d^6)^3 \).

Первый член — \( q^3 \) — является кубом. Получаем **разность кубов**:
\[
q^3 — (c^5 d^6)^3.
\]

Применяем формулу разности кубов с \( A = q \), \( B = c^5 d^6 \):

— \( A — B = q — c^5 d^6 \);
— \( A^2 = q^2 \);
— \( AB = q \cdot c^5 d^6 = q c^5 d^6 \);
— \( B^2 = (c^5 d^6)^2 = c^{10} d^{12} \);
— \( A^2 + AB + B^2 = q^2 + q c^5 d^6 + c^{10} d^{12} \).

Следовательно,
\[
q^3 — c^{15} d^{18} = (q — c^5 d^6)(q^2 + q c^5 d^6 + c^{10} d^{12}).
\]