ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.42 Мордкович — Подробные Ответы

а) 1a\(\frac{6}{8}\) — b9; б) 8a\(\frac{3}{27}\) + 1x\(\frac{9}{64}\); в) 1x\(\frac{3}{125}\) + y6; г) 64m\(\frac{3}{729}\) — 343n\(\frac{6}{1000}\).

а)
\[
\frac{1}{8}a^6 — b^9 = \left( \frac{1}{2}a^2 — b^3 \right)
\]

\[
\left( \frac{1}{4}a^4 + \frac{1}{2}a^2b^3 + b^6 \right).
\]

б)
\[
\frac{8}{27}a^3 + \frac{1}{64}x^9 = \left( \frac{2}{3}a + \frac{1}{4}x^3 \right)
\]

\[
\left( \frac{4}{9}a^2 — \frac{1}{6}ax^3 + \frac{1}{16}x^6 \right).
\]

в)
\[
\frac{1}{125}x^3 + y^6 = \left( \frac{1}{5}x + y^2 \right)
\]

\[
\left( \frac{1}{25}x^2 — \frac{1}{5}xy^2 + y^4 \right).
\]

г)
\[
\frac{64}{729}m^3 — \frac{343}{1000}n^6 = \left( \frac{4}{9}m — \frac{7}{10}n^2 \right)
\]

\[
\left( \frac{16}{81}m^2 + \frac{14}{45}mn^2 + \frac{49}{100}n^4 \right).
\]

а) \( \frac{1}{8}a^6 — b^9 \)

Представим каждый член как куб:

— \( \frac{1}{8}a^6 = \left( \frac{1}{2}a^2 \right)^3 \), поскольку
\( \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8} \) и \( (a^2)^3 = a^6 \);
— \( b^9 = (b^3)^3 \), так как \( 3 \cdot 3 = 9 \).

Следовательно, выражение — разность кубов:
\[
\left( \frac{1}{2}a^2 \right)^3 — (b^3)^3.
\]

Применяем формулу разности кубов:
\[
A^3 — B^3 = (A — B)(A^2 + AB + B^2),
\]

где \( A = \frac{1}{2}a^2 \), \( B = b^3 \).

Вычислим компоненты:

— \( A — B = \frac{1}{2}a^2 — b^3 \);
— \( A^2 = \left( \frac{1}{2}a^2 \right)^2 = \frac{1}{4}a^4 \);
— \( AB = \frac{1}{2}a^2 \cdot b^3 = \frac{1}{2}a^2b^3 \);
— \( B^2 = (b^3)^2 = b^6 \);
— \( A^2 + AB + B^2 = \frac{1}{4}a^4 + \frac{1}{2}a^2b^3 + b^6 \).

Таким образом,
\[
\frac{1}{8}a^6 — b^9 = \left( \frac{1}{2}a^2 — b^3 \right)\left( \frac{1}{4}a^4 + \frac{1}{2}a^2b^3 + b^6 \right).
\]

б) \( \frac{8}{27}a^3 + \frac{1}{64}x^9 \)

Разложим на кубы:

— \( \frac{8}{27}a^3 = \left( \frac{2}{3}a \right)^3 \), так как \( 2^3 = 8 \), \( 3^3 = 27 \);
— \( \frac{1}{64}x^9 = \left( \frac{1}{4}x^3 \right)^3 \), поскольку \( 4^3 = 64 \), \( (x^3)^3 = x^9 \).

Выражение — сумма кубов:
\[
\left( \frac{2}{3}a \right)^3 + \left( \frac{1}{4}x^3 \right)^3.
\]

Применяем формулу суммы кубов:
\[
A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 — AB + B^2),
\]

где \( A = \frac{2}{3}a \), \( B = \frac{1}{4}x^3 \).

Вычислим:

— \( A + B = \frac{2}{3}a + \frac{1}{4}x^3 \);
— \( A^2 = \left( \frac{2}{3}a \right)^2 = \frac{4}{9}a^2 \);
— \( AB = \frac{2}{3}a \cdot \frac{1}{4}x^3 = \frac{2}{12}ax^3 = \frac{1}{6}ax^3 \);
— \( B^2 = \left( \frac{1}{4}x^3 \right)^2 = \frac{1}{16}x^6 \);
— \( A^2 — AB + B^2 = \frac{4}{9}a^2 — \frac{1}{6}ax^3 + \frac{1}{16}x^6 \).

Следовательно,
\[
\frac{8}{27}a^3 + \frac{1}{64}x^9 = \left( \frac{2}{3}a + \frac{1}{4}x^3 \right)\left( \frac{4}{9}a^2 — \frac{1}{6}ax^3 + \frac{1}{16}x^6 \right).
\]

в) \( \frac{1}{125}x^3 + y^6 \)

Проверим кубы:

— \( \frac{1}{125}x^3 = \left( \frac{1}{5}x \right)^3 \), так как \( 5^3 = 125 \);
— \( y^6 = (y^2)^3 \), поскольку \( (y^2)^3 = y^6 \).

Получаем сумму кубов:
\[
\left( \frac{1}{5}x \right)^3 + (y^2)^3.
\]

Применяем формулу суммы кубов с \( A = \frac{1}{5}x \), \( B = y^2 \):

— \( A + B = \frac{1}{5}x + y^2 \);
— \( A^2 = \left( \frac{1}{5}x \right)^2 = \frac{1}{25}x^2 \);
— \( AB = \frac{1}{5}x \cdot y^2 = \frac{1}{5}xy^2 \);
— \( B^2 = (y^2)^2 = y^4 \);
— \( A^2 — AB + B^2 = \frac{1}{25}x^2 — \frac{1}{5}xy^2 + y^4 \).

Поэтому,
\[
\frac{1}{125}x^3 + y^6 = \left( \frac{1}{5}x + y^2 \right)\left( \frac{1}{25}x^2 — \frac{1}{5}xy^2 + y^4 \right).
\]

г) \( \frac{64}{729}m^3 — \frac{343}{1000}n^6 \)

Анализируем каждый член:

— \( \frac{64}{729} = \left( \frac{4}{9} \right)^3 \), так как \( 4^3 = 64 \), \( 9^3 = 729 \);
— \( \frac{343}{1000} = \left( \frac{7}{10} \right)^3 \), поскольку \( 7^3 = 343 \), \( 10^3 = 1000 \);
— \( n^6 = (n^2)^3 \).

Следовательно,
\[
\frac{64}{729}m^3 — \frac{343}{1000}n^6 = \left( \frac{4}{9}m \right)^3 — \left( \frac{7}{10}n^2 \right)^3,
\]

то есть это разность кубов

Применяем формулу с \( A = \frac{4}{9}m \), \( B = \frac{7}{10}n^2 \):

— \( A — B = \frac{4}{9}m — \frac{7}{10}n^2 \);
— \( A^2 = \left( \frac{4}{9}m \right)^2 = \frac{16}{81}m^2 \);
— \( AB = \frac{4}{9}m \cdot \frac{7}{10}n^2 = \frac{28}{90}mn^2 = \frac{14}{45}mn^2 \);
— \( B^2 = \left( \frac{7}{10}n^2 \right)^2 = \frac{49}{100}n^4 \);
— \( A^2 + AB + B^2 = \frac{16}{81}m^2 + \frac{14}{45}mn^2 + \frac{49}{100}n^4 \).

Итак,
\[
\frac{64}{729}m^3 — \frac{343}{1000}n^6 = \left( \frac{4}{9}m — \frac{7}{10}n^2 \right)
\]

\[
\left( \frac{16}{81}m^2 + \frac{14}{45}mn^2 + \frac{49}{100}n^4 \right).
\]