ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.43 Мордкович — Подробные Ответы

\(а) (2с + 1)^3 — 64\); \(б) р^3 + (3р — 4)^3\); \(в) 8 — (3 — к)^3\); \(г) (5a + 4)^3 — а^3\).

а) \((2c + 1)^3 — 64 = \left((2c + 1) — 4\right)\left((2c + 1)^2 + 4(2c + 1) + 16\right) =\)

\(= (2c — 3)\left(4c^2 + 4c + 1 + 8c + 4 + 16\right) = (2c — 3)(4c^2 + 12c + 21).\)

б) \(p^3 + (3p — 4)^3 = \left(p + (3p — 4)\right)\left(p^2 — p(3p — 4) + (3p — 4)^2\right) =\)

\(= (4p — 4)\left(p^2 — 3p^2 + 4p + 9p^2 — 24p + 16\right) =\)

\(= (4p — 4)\left(7p^2 — 20p + 16\right) = 4(p — 1)\left(7p^2 — 20p + 16\right).\)

в) \(8 — (3 — k)^3 = \left(2 — (3 — k)\right)\left(4 + 2(3 — k) + (3 — k)^2\right) =\)

\(= (2 — 3 + k)\left(4 + 6 — 2k + 9 — 6k + k^2\right) =\)

\(= (k — 1)(k^2 — 3k + 19).\)

г) \((5a + 4)^3 — a^3 = \left((5a + 4) — a\right)\left((5a + 4)^2 + a(5a + 4) + a^2\right) =\)

\(= (4a + 4)\left(25a^2 + 40a + 16 + 5a^2 + 4a + a^2\right) =\)

\(= (4a + 4)\left(31a^2 + 44a + 16\right) = 4(a + 1)\left(31a^2 + 44a + 16\right).\)

а) \((2c + 1)^3 — 64\)

Заметим, что \(64 = 4^3\), поэтому выражение представляет собой разность кубов:
\[
A^3 — B^3 = (A — B)(A^2 + AB + B^2),
\]

где \(A = 2c + 1\), \(B = 4\).

Применяем формулу:
\[
(2c + 1)^3 — 4^3 = \big((2c + 1) — 4\big)\Big((2c + 1)^2 + (2c + 1)\cdot 4 + 4^2\Big).
\]

Упрощаем первый множитель:
\[
(2c + 1) — 4 = 2c — 3.
\]

Раскрываем второй множитель по частям:
\[
(2c + 1)^2 = 4c^2 + 4c + 1,
\]

\[
(2c + 1)\cdot 4 = 8c + 4,
\]

\[
4^2 = 16.
\]

Складываем:
\[
4c^2 + 4c + 1 + 8c + 4 + 16 = 4c^2 + 12c + 21.
\]

Итог:
\[
(2c + 1)^3 — 64 = (2c — 3)(4c^2 + 12c + 21).
\]

б) \(p^3 + (3p — 4)^3\)

Это сумма кубов: \(A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 — AB + B^2)\),
где \(A = p\), \(B = 3p — 4\).

Применяем формулу:
\[
p^3 + (3p — 4)^3 = \big(p + (3p — 4)\big)\Big(p^2 — p(3p — 4) + (3p — 4)^2\Big).
\]

Первый множитель:
\[
p + 3p — 4 = 4p — 4 = 4(p — 1).
\]

Второй множитель — раскрываем по частям:
\[
p^2,
\]

\[
-p(3p — 4) = -3p^2 + 4p,
\]

\[
(3p — 4)^2 = 9p^2 — 24p + 16.
\]

Складываем:
\[
p^2 — 3p^2 + 4p + 9p^2 — 24p + 16 =
\]

\[
(1 — 3 + 9)p^2 + (4 — 24)p + 16 = 7p^2 — 20p + 16.
\]

Итог:
\[
p^3 + (3p — 4)^3 = (4p — 4)(7p^2 — 20p + 16) = 4(p — 1)(7p^2 — 20p + 16).
\]

в) \(8 — (3 — k)^3\)

Запишем как \(2^3 — (3 — k)^3\) — разность кубов:
\(A = 2\), \(B = 3 — k\).

Формула:
\[
A^3 — B^3 = (A — B)(A^2 + AB + B^2).
\]

Первый множитель:
\[
2 — (3 — k) = 2 — 3 + k = k — 1.
\]

Второй множитель:
\[
A^2 = 4,
\]

\[
AB = 2(3 — k) = 6 — 2k,
\]

\[
B^2 = (3 — k)^2 = 9 — 6k + k^2.
\]

Сумма:
\[
4 + (6 — 2k) + (9 — 6k + k^2) = k^2 — 8k + 19.
\]

\[
8 — (3 — k)^3 = (k — 1)(k^2 — 3k + 19).
\]

г) \((5a + 4)^3 — a^3\)

Разность кубов: \(A = 5a + 4\), \(B = a\).

Формула:
\[
(A — B)(A^2 + AB + B^2).
\]

Первый множитель:
\[
(5a + 4) — a = 4a + 4 = 4(a + 1).
\]

Второй множитель:
\[
(5a + 4)^2 = 25a^2 + 40a + 16,
\]

\[
(5a + 4)\cdot a = 5a^2 + 4a,
\]

\[
a^2.
\]

Сумма:
\[
25a^2 + 40a + 16 + 5a^2 + 4a + a^2 = (25 + 5 + 1)a^2 +
\]

\[
+ (40 + 4)a + 16 = 31a^2 + 44a + 16.
\]

Итог:
\[
(5a + 4)^3 — a^3 = (4a + 4)(31a^2 + 44a + 16) =
\]

\[
= 4(a + 1)(31a^2 + 44a + 16).
\]