ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.44 Мордкович — Подробные Ответы

\(а) (6b + 8)^3 — 125b^3\); \(б) 1000р^3 + (3q — 2р)^3\); \(в) 8x^3 — (5x — 3)^3\); \(г) (3x + 2у)^3 + 729у^3\).

а) \((6b + 8)^3 — 125b^3 = \big((6b + 8) — 5b\big) \cdot\)

\(\cdot \big((6b + 8)^2 + 5b(6b + 8) + 25b^2\big) = (6b + 8 — 5b) \cdot\)

\(\cdot \big(36b^2 + 96b + 64 + 30b^2 + 40b + 25b^2\big) =\)

\(= (b + 8)(91b^2 + 136b + 64).\)

б) \(1000p^3 + (3q — 2p)^3 = \big(10p + (3q — 2p)\big) \cdot\)

\(\cdot \big(100p^2 — 10p(3q — 2p) + (3q — 2p)^2\big) = (8p + 3q) \cdot\)

\(\cdot \big(100p^2 — 30pq + 20p^2 + 9q^2 — 12pq + 4p^2\big) =\)

\(= (8p + 3q)(124p^2 — 42pq + 9q^2).\)

в) \(8x^3 — (5x — 3)^3 = \big(2x — (5x — 3)\big) \cdot\)

\(\cdot \big(4x^2 + 2x(5x — 3) + (5x — 3)^2\big) = (2x — 5x + 3) \cdot\)

\(\cdot \big(4x^2 + 10x^2 — 6x + 25x^2 — 30x + 9\big) =\)

\(= (3 — 3x)(9 — 36x + 39x^2) = 9(1 — x)(3 — 12x + 13x^2).\)

г) \((3x + 2y)^3 + 729y^3 = \big((3x + 2y) + 9y\big) \cdot\)

\(\cdot \big((3x + 2y)^2 — 9y(3x + 2y) + 81y^2\big) = (3x + 11y) \cdot\)

\(\cdot \big(9x^2 + 12xy + 4y^2 — 27xy — 18y^2 + 81y^2\big) =\)

\(= (3x + 11y)(9x^2 — 15xy + 67y^2).\)

а) \((6b + 8)^3 — 125b^3\)

Заметим, что \(125b^3 = (5b)^3\).
Таким образом, выражение представляет собой разность кубов:

\[
A^3 — B^3 = (A — B)(A^2 + AB + B^2),
\]

где \(A = 6b + 8\), \(B = 5b\).

Шаг 1. Применяем формулу разности кубов:
\[
(6b + 8)^3 — (5b)^3 = \big((6b + 8) — 5b\big)
\]

\[
\cdot \big((6b + 8)^2 + (6b + 8)(5b) + (5b)^2\big).
\]

Шаг 2. Упрощаем первый множитель:
\[
(6b + 8) — 5b = b + 8.
\]

Шаг 3. Раскрываем второй множитель по частям:

— \((6b + 8)^2 = 36b^2 + 2 \cdot 6b \cdot 8 + 64 = 36b^2 + 96b + 64\),
— \((6b + 8)(5b) = 30b^2 + 40b\),
— \((5b)^2 = 25b^2\).

Шаг 4. Складываем все части второго множителя:
\[
36b^2 + 96b + 64 + 30b^2 + 40b + 25b^2 = (36 + 30 + 25)
\]

\[
b^2 + (96 + 40)b + 64 = 91b^2 + 136b + 64.
\]

Итог:
\[
(6b + 8)^3 — 125b^3 = (b + 8)(91b^2 + 136b + 64).
\]

б) \(1000p^3 + (3q — 2p)^3\)

Заметим, что \(1000p^3 = (10p)^3\).
Это сумма кубов:

\[
A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 — AB + B^2),
\]

где \(A = 10p\), \(B = 3q — 2p\).

Шаг 1. Применяем формулу суммы кубов:
\[
(10p)^3 + (3q — 2p)^3 = \big(10p + (3q — 2p)\big) \cdot
\]

\[
\cdot \big((10p)^2 — 10p(3q — 2p) + (3q — 2p)^2\big).
\]

Шаг 2. Упрощаем первый множитель:
\[
10p + 3q — 2p = 8p + 3q.
\]

Шаг 3. Раскрываем второй множитель:

— \((10p)^2 = 100p^2\),
— \(-10p(3q — 2p) = -30pq + 20p^2\),
— \((3q — 2p)^2 = 9q^2 — 12pq + 4p^2\).

Шаг 4. Складываем:
\[
100p^2 + 20p^2 + 4p^2 = 124p^2,
\]

\[
-30pq — 12pq = -42pq,
\]

\[
+9q^2.
\]

Получаем: \(124p^2 — 42pq + 9q^2\).

Итог:
\[
1000p^3 + (3q — 2p)^3 = (8p + 3q)(124p^2 — 42pq + 9q^2).
\]

в) \(8x^3 — (5x — 3)^3\)

Заметим, что \(8x^3 = (2x)^3\).
Это разность кубов: \(A = 2x\), \(B = 5x — 3\).

Шаг 1. Применяем формулу:
\[
(2x)^3 — (5x — 3)^3 = \big(2x — (5x — 3)\big) \cdot
\]

\[
\cdot \big((2x)^2 + 2x(5x — 3) + (5x — 3)^2\big).
\]

Шаг 2. Первый множитель:
\[
2x — 5x + 3 = -3x + 3 = 3(1 — x).
\]

Шаг 3. Второй множитель:

— \((2x)^2 = 4x^2\),
— \(2x(5x — 3) = 10x^2 — 6x\),
— \((5x — 3)^2 = 25x^2 — 30x + 9\).

Сумма:
\[
4x^2 + 10x^2 + 25x^2 = 39x^2,
\]

\[
-6x — 30x = -36x,
\]

\[
+9.
\]

\[
3 — 3x = 3(1 — x),\quad 9 — 36x + 39x^2 = 3(3 — 12x + 13x^2),
\]

и \(3 \cdot 3 = 9\).

\[
8x^3 — (5x — 3)^3 = = 9(1 — x)(3 — 12x + 13x^2).
\]

г) \((3x + 2y)^3 + 729y^3\)

Заметим, что \(729y^3 = (9y)^3\).
Это сумма кубов: \(A = 3x + 2y\), \(B = 9y\).

Шаг 1. Формула:
\[
A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 — AB + B^2).
\]

Шаг 2. Первый множитель:
\[
(3x + 2y) + 9y = 3x + 11y.
\]

Шаг 3. Второй множитель:

— \(A^2 = (3x + 2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2\),
— \(-AB = -(3x + 2y)(9y) = -27xy — 18y^2\),
— \(B^2 = (9y)^2 = 81y^2\).

Шаг 4. Складываем:
\[
9x^2,
\]

\[
12xy — 27xy = -15xy,
\]

\[
4y^2 — 18y^2 + 81y^2 = 67y^2.
\]

Итог:

\[
(3x + 2y)^3 + 729y^3 = (3x + 11y)(9x^2 — 15xy + 67y^2).
\]