Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.47 Мордкович — Подробные Ответы
Вычислите наиболее рациональным способом:
а) \(\frac{53^2 + 22^2 — 47^2 — 16^2}{65^2 — 2 \cdot 65 \cdot 59 + 59^2}\);
б) \(\frac{59^3 — 41^3}{18} + 59 \cdot 41\);
в) \(\frac{109^2 — 2 \cdot 109 \cdot 61 + 61^2}{79^2 + 73^2 — 49^2 — 55^2}\);
г) \(\frac{67^3 + 52^3}{119} — 67 \cdot 52.\)
а) \(\frac{53^2 + 22^2 — 47^2 — 16^2}{65^2 — 2 \cdot 65 \cdot 59 + 59^2} = \frac{(53 — 47)(53 + 47) + (22 — 16)(22 + 16)}{(65 — 59)^2} =\)
\(= \frac{6 \cdot 100 + 6 \cdot 38}{6^2} = \frac{6(100 + 38)}{6^2} = \frac{138}{6} = 23.\)
б) \(\frac{59^3 — 41^3}{18} + 59 \cdot 41 = \frac{(59 — 41)(59^2 + 59 \cdot 41 + 41^2)}{18} + 59 \cdot 41 =\)
\(= \frac{18 \cdot (59^2 + 59 \cdot 41 + 41^2)}{18} + 59 \cdot 41 =\)
\(= 59^2 + 59 \cdot 41 + 41^2 + 59 \cdot 41 = (59 + 41)^2 = 100^2 = 10\,000.\)
в) \(\frac{109^2 — 2 \cdot 109 \cdot 61 + 61^2}{79^2 + 73^2 — 49^2 — 55^2} = \frac{(109 — 61)^2}{(79 — 49)(79 + 49) + (73 — 55)(73 + 55)} =\)
\(= \frac{48^2}{(30 \cdot 128) + (18 \cdot 128)} = \frac{48^2}{128 \cdot (30 + 18)} = \frac{48^2}{128 \cdot 48} =\)
\(= \frac{48}{128} = \frac{3}{8}.\)
г) \(\frac{67^3 + 52^3}{119} — 67 \cdot 52 = \frac{(67 + 52)(67^2 — 67 \cdot 52 + 52^2)}{119} — 67 \cdot 52 =\)
\(= \frac{119 \cdot (67^2 — 67 \cdot 52 + 52^2)}{119} — 67 \cdot 52 =\)
\(= 67^2 — 67 \cdot 52 + 52^2 — 67 \cdot 52 = (67 — 52)^2 = 15^2 = 225.\)
а)
\[
\frac{53^2 + 22^2 — 47^2 — 16^2}{65^2 — 2 \cdot 65 \cdot 59 + 59^2}
\]
Шаг 1: Упростим числитель
Группируем слагаемые:
\[
(53^2 — 47^2) + (22^2 — 16^2)
\]
Обе пары — разность квадратов: \(A^2 — B^2 = (A — B)(A + B)\).
— \(53^2 — 47^2 = (53 — 47)(53 + 47) = 6 \cdot 100\),
— \(22^2 — 16^2 = (22 — 16)(22 + 16) = 6 \cdot 38\).
Складываем:
\[
6 \cdot 100 + 6 \cdot 38 = 6(100 + 38) = 6 \cdot 138.
\]
Шаг 2: Упростим знаменатель
Заметим, что это квадрат разности
\[
65^2 — 2 \cdot 65 \cdot 59 + 59^2 = (65 — 59)^2 = 6^2 = 36.
\]
Шаг 3: Подставляем
\[
\frac{6 \cdot 138}{6^2} = \frac{138}{6} = 23.
\]
Ответ: 23
б)
\[
\frac{59^3 — 41^3}{18} + 59 \cdot 41
\]
Шаг 1: Применяем формулу разности кубов
\[
A^3 — B^3 = (A — B)(A^2 + AB + B^2),\quad A = 59,\ B = 41.
\]
Тогда:
\[
59^3 — 41^3 = (59 — 41)(59^2 + 59 \cdot 41 + 41^2) = 18 \cdot (59^2 + 59 \cdot 41 + 41^2).
\]
Шаг 2: Делим на 18
\[
\frac{59^3 — 41^3}{18} = \frac{18 \cdot (\dots)}{18} = 59^2 + 59 \cdot 41 + 41^2.
\]
Шаг 3: Прибавляем \(59 \cdot 41\)
\[
59^2 + 59 \cdot 41 + 41^2 + 59 \cdot 41 = 59^2 + 2 \cdot 59 \cdot 41 + 41^2.
\]
Это полный квадрат суммы:
\[
(59 + 41)^2 = 100^2 = 10\,000.
\]
Ответ: 10 000
в)
\[
\frac{109^2 — 2 \cdot 109 \cdot 61 + 61^2}{79^2 + 73^2 — 49^2 — 55^2}
\]
Шаг 1: Числитель — квадрат разности
\[
109^2 — 2 \cdot 109 \cdot 61 + 61^2 = (109 — 61)^2 = 48^2.
\]
Шаг 2: Знаменатель — группировка и разность квадратов
Перепишем:
\[
(79^2 — 49^2) + (73^2 — 55^2).
\]
Применяем \(A^2 — B^2 = (A — B)(A + B)\):
— \(79^2 — 49^2 = (79 — 49)(79 + 49) = 30 \cdot 128\),
— \(73^2 — 55^2 = (73 — 55)(73 + 55) = 18 \cdot 128\).
Складываем:
\[
30 \cdot 128 + 18 \cdot 128 = (30 + 18) \cdot 128 = 48 \cdot 128.
\]
Шаг 3: Подставляем
\[
\frac{48^2}{48 \cdot 128} = \frac{48}{128}.
\]
Сокращаем дробь:
\[
\frac{48}{128} = \frac{48 \div 16}{128 \div 16} = \frac{3}{8}.
\]
Ответ: \(\frac{3}{8}\)
г)
\[
\frac{67^3 + 52^3}{119} — 67 \cdot 52
\]
Шаг 1: Сумма кубов
\[
A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 — AB + B^2),\quad A = 67,\ B = 52.
\]
\[
67^3 + 52^3 = (67^2 — 67 \cdot 52 + 52^2) = 119 \cdot (67^2 — 67 \cdot 52 + 52^2).
\]
Шаг 2: Делим на 119
\[
\frac{67^3 + 52^3}{119} = 67^2 — 67 \cdot 52 + 52^2.
\]
Шаг 3: Вычитаем \(67 \cdot 52\)
\[
67^2 — 67 \cdot 52 + 52^2 — 67 \cdot 52 = 67^2 — 2 \cdot 67 \cdot 52 + 52^2.
\]
Это квадрат разности:
\[
(67 — 52)^2 = 15^2 = 225.
\]
Ответ: 225*
