ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.1 Мордкович — Подробные Ответы

Разложите многочлен на множители:

а) \( 5x^2 — 5 \)
б) \( 18b^2 — 2c^2 \)
в) \( 3a^2 — 12 \)
г) \( 10x^2 — 10y^2 \)

a) 5x² − 5 = 5(x² − 1) = 5(x − 1)(x + 1).
б) 18b² − 2c² = 2(9b² − c²) = 2(3b − c)(3b + c).
в) 3a² − 12 = 3(a² − 4) = 3(a − 2)(a + 2).
г) 10x² − 10y² = 10(x² − y²) = 10(x − y)(x + y).

в каждом пункте требуется разложить многочлен на множители, используя стандартные приёмы: вынесение общего числового множителя за скобки и применение формулы разности квадратов:
\[
u^2 — v^2 = (u — v)(u + v).
\]

а)
дано выражение:
\[
5x^2 — 5.
\]

сначала выносим общий числовой множитель 5:
\[
5x^2 — 5 = 5(x^2 — 1).
\]

в скобках получена разность квадратов, поскольку \(x^2 = (x)^2\) и \(1 = (1)^2\).
применяем формулу:
\[
x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1).
\]

подставляем обратно:
\[
5(x^2 — 1) = 5(x — 1)(x + 1).
\]

итак, полное разложение на множители:
\[
5x^2 — 5 = 5(x — 1)(x + 1).
\]

б)
дано выражение:
\[
18b^2 — 2c^2.
\]

общий числовой множитель у коэффициентов 18 и 2 — это 2. выносим его:
\[
18b^2 — 2c^2 = 2(9b^2 — c^2).
\]

внутри скобок: \(9b^2 = (3b)^2\), \(c^2 = (c)^2\), значит, это разность квадратов.
применяем формулу:
\[
9b^2 — c^2 = (3b — c)(3b + c).
\]

следовательно, полное разложение:
\[
18b^2 — 2c^2 = 2(3b — c)(3b + c).
\]

в)
дано выражение:
\[
3a^2 — 12.
\]

выносим общий множитель 3:
\[
3a^2 — 12 = 3(a^2 — 4).
\]

в скобках: \(a^2 = (a)^2\), \(4 = (2)^2\), значит,
\[
a^2 — 4 = (a — 2)(a + 2).
\]

поэтому полное разложение:
\[
3a^2 — 12 = 3(a — 2)(a + 2).
\]

г)
дано выражение:
\[
10x^2 — 10y^2.
\]

общий множитель — 10. выносим:
\[
10x^2 — 10y^2 = 10(x^2 — y^2).
\]

внутри скобок — разность квадратов: \(x^2 = (x)^2\), \(y^2 = (y)^2\).
применяем формулу:
\[
x^2 — y^2 = (x — y)(x + y).
\]

итак, полное разложение:
\[
10x^2 — 10y^2 = 10(x — y)(x + y).
\]

ответ:
а) \(5x^2 — 5 = 5(x — 1)(x + 1)\)
б) \(18b^2 — 2c^2 = 2(3b — c)(3b + c)\)
в) \(3a^2 — 12 = 3(a — 2)(a + 2)\)
г) \(10x^2 — 10y^2 = 10(x — y)(x + y)\)