Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.10 Мордкович — Подробные Ответы
Разложите многочлен на множители:
а) \( (m + 3)^3 — 8 \)
б) \( (c — 1)^3 + 27 \)
в) \( (a — 12)^3 — 125 \)
г) \( (b + 4)^3 + 64 \)
a) (m + 3)³ − 8 = ((m + 3) − 2)((m + 3)² + 2(m + 3) + 4) =
= (m + 3 − 2)(m² + 6m + 9 + 2m + 6 + 4) =
= (m + 1)(m² + 8m + 19).
б) (c − 1)³ + 27 = ((c − 1) + 3)((c − 1)² − 3(c − 1) + 9) =
= (c − 1 + 3)(c² − 2c + 1 − 3c + 3 + 9) = (c + 2)(c² − 5c + 13).
в) (a − 12)³ − 125 = ((a − 12) − 5)((a − 12)² + 5(a − 12) + 25) =
= (a − 12 − 5)(a² − 24a + 144 + 5a − 60 + 25) =
= (a − 17)(a² − 19a + 109).
г) (b + 4)³ + 64 = ((b + 4) + 4)((b + 4)² − 4(b + 4) + 16) =
= (b + 4 + 4)(b² + 8b + 16 − 4b − 16 + 16) =
= (b + 8)(b² + 4b + 16).
\(A\) — это линейное выражение (например, \(m + 3\)),
\(B\) — целое число (например, \(2\), так как \(2^3 = 8\)).
а)
дано выражение:
\[
(m + 3)^3 — 8.
\]
заметим, что \(8 = 2^3\). обозначим:
\(A = m + 3\), \(B = 2\).
тогда выражение принимает вид \(A^3 — B^3\), и можно применить формулу разности кубов:
\[
A^3 — B^3 = (A — B)(A^2 + AB + B^2).
\]
подставляем \(A = m + 3\), \(B = 2\):
\[
(m + 3)^3 — 8 = ((m + 3) — 2)\big((m + 3)^2 + (m + 3)\cdot 2 + 2^2\big).
\]
упростим каждый множитель.
первый множитель:
\[
(m + 3) — 2 = m + 1.
\]
второй множитель:
\[
(m + 3)^2 = m^2 + 6m + 9,
\]
\[
2(m + 3) = 2m + 6,
\]
\[
2^2 = 4.
\]
сложим:
\[
m^2 + 6m + 9 + 2m + 6 + 4 = m^2 + (6m + 2m) + (9 + 6 + 4) = m^2 + 8m + 19.
\]
итак, полное разложение:
\[
(m + 3)^3 — 8 = (m + 1)(m^2 + 8m + 19).
\]
б)
дано выражение:
\[
(c — 1)^3 + 27.
\]
поскольку \(27 = 3^3\), обозначим:
\(A = c — 1\), \(B = 3\).
выражение имеет вид \(A^3 + B^3\) — сумма кубов. применим формулу:
\[
A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 — AB + B^2).
\]
подставляем:
\[
(c — 1)^3 + 27 = ((c — 1) + 3)\big((c — 1)^2 — (c — 1)\cdot 3 + 3^2\big).
\]
упрощаем.
первый множитель:
\[
(c — 1) + 3 = c + 2.
\]
второй множитель:
\[
(c — 1)^2 = c^2 — 2c + 1,
\]
\[
3(c — 1) = 3c — 3,
\]
\[
3^2 = 9.
\]
теперь:
\[
c^2 — 2c + 1 — (3c — 3) + 9 = c^2 — 2c + 1 — 3c + 3 + 9 = c^2 — 5c + 13.
\]
итак:
\[
(c — 1)^3 + 27 = (c + 2)(c^2 — 5c + 13).
\]
в)
дано выражение:
\[
(a — 12)^3 — 125.
\]
заметим, что \(125 = 5^3\). положим:
\(A = a — 12\), \(B = 5\).
применяем формулу разности кубов:
\[
A^3 — B^3 = (A — B)(A^2 + AB + B^2).
\]
подставляем:
\[
((a — 12) — 5)\big((a — 12)^2 + (a — 12)\cdot 5 + 5^2\big).
\]
первый множитель:
\[
a — 12 — 5 = a — 17.
\]
второй множитель:
\[
(a — 12)^2 = a^2 — 24a + 144,
\]
\[
5(a — 12) = 5a — 60,
\]
\[
5^2 = 25.
\]
сложим:
\[
a^2 — 24a + 144 + 5a — 60 + 25 = a^2 + (-24a + 5a) + (144 — 60 + 25) = a^2 — 19a + 109.
\]
итак:
\[
(a — 12)^3 — 125 = (a — 17)(a^2 — 19a + 109).
\]
г)
дано выражение:
\[
(b + 4)^3 + 64.
\]
поскольку \(64 = 4^3\), обозначим:
\(A = b + 4\), \(B = 4\).
применяем формулу суммы кубов:
\[
A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 — AB + B^2).
\]
подставляем:
\[
((b + 4) + 4)\big((b + 4)^2 — (b + 4)\cdot 4 + 4^2\big).
\]
первый множитель:
\[
b + 4 + 4 = b + 8.
\]
второй множитель:
\[
(b + 4)^2 = b^2 + 8b + 16,
\]
\[
4(b + 4) = 4b + 16,
\]
\[
4^2 = 16.
\]
теперь:
\[
b^2 + 8b + 16 — (4b + 16) + 16 = b^2 + 8b + 16 — 4b — 16 + 16 = b^2 + (8b — 4b) + (16 — 16 + 16) = b^2 + 4b + 16.
\]
итак:
\[
(b + 4)^3 + 64 = (b + 8)(b^2 + 4b + 16).
\]
ответ:
а) \((m + 3)^3 — 8 = (m + 1)(m^2 + 8m + 19)\)
б) \((c — 1)^3 + 27 = (c + 2)(c^2 — 5c + 13)\)
в) \((a — 12)^3 — 125 = (a — 17)(a^2 — 19a + 109)\)
г) \((b + 4)^3 + 64 = (b + 8)(b^2 + 4b + 16)\)
