Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.11 Мордкович — Подробные Ответы
Разложите многочлен на множители:
а) \( (x^2 + 1)^2 — 4x^2 \)
б) \( (y^2 + 2y)^2 — 1 \)
в) \( 81 — (c^2 + 6c)^2 \)
г) \( 16m^2 — (m — n)^2 \)
а) \((x^2 + 1)^2 — 4x^2 = (x^2 + 1 — 2x)(x^2 + 1 + 2x) =\)
\(= (x^2 — 2x + 1)(x^2 + 2x + 1) = (x — 1)^2(x + 1)^2\).
б) \((y^2 + 2y)^2 — 1 = (y^2 + 2y — 1)(y^2 + 2y + 1) =\)
\(= (y^2 + 2y — 1)(y + 1)^2\).
в) \(81 — (c^2 + 6c)^2 = (9 — c^2 — 6c)(9 + c^2 + 6c) =\)
\(= (9 — c^2 — 6c)(3 + c)^2\).
г) \(16m^2 — (m — n)^2 = (4m — m + n)(4m + m — n) =\)
\(= (3m + n)(5m — n)\).
в этом задании все выражения имеют форму разности квадратов, то есть структуру
\[
A^2 — B^2,
\]
которая раскладывается как
\[
(A — B)(A + B).
\]
в некоторых случаях после первого шага получаются квадратные трёхчлены, которые сами являются полными квадратами и могут быть ещё раз разложены.
рассмотрим каждый пункт отдельно.
а)
\[
(x^2 + 1)^2 — 4x^2
\]
шаг 1. замечаем, что \(4x^2 = (2x)^2\), поэтому всё выражение — разность квадратов:
\[
= \bigl(x^2 + 1\bigr)^2 — (2x)^2 = \bigl(x^2 + 1 — 2x\bigr)\bigl(x^2 + 1 + 2x\bigr).
\]
шаг 2. упорядочим слагаемые в каждом множителе:
\[
= (x^2 — 2x + 1)(x^2 + 2x + 1).
\]
шаг 3. каждый из этих трёхчленов — полный квадрат:
\[
x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2, \quad x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2.
\]
шаг 4. окончательное разложение:
\[
(x — 1)^2(x + 1)^2.
\]
альтернативно, можно записать как \(\bigl((x — 1)(x + 1)\bigr)^2 = (x^2 — 1)^2\), но в ответе предпочтена форма с отдельными квадратами — она полностью соответствует логике последовательного разложения.
б)
\[
(y^2 + 2y)^2 — 1
\]
шаг 1. единицу можно записать как \(1^2\), поэтому выражение — разность квадратов:
\[
= \bigl(y^2 + 2y\bigr)^2 — 1^2 = \bigl(y^2 + 2y — 1\bigr)\bigl(y^2 + 2y + 1\bigr).
\]
шаг 2. второй множитель — полный квадрат:
\[
y^2 + 2y + 1 = (y + 1)^2.
\]
шаг 3. первый множитель \(y^2 + 2y — 1\) не является полным квадратом и не раскладывается на рациональные множители (его дискриминант \(D = 4 + 4 = 8\) не является квадратом целого числа), поэтому оставляем его как есть.
итог:
\[
(y^2 + 2y — 1)(y + 1)^2.
\]
в)
\[
81 — (c^2 + 6c)^2
\]
шаг 1. представим \(81 = 9^2\), тогда:
\[
= 9^2 — \bigl(c^2 + 6c\bigr)^2 = \bigl(9 — (c^2 + 6c)\bigr)\bigl(9 + (c^2 + 6c)\bigr).
\]
шаг 2. упростим обе скобки:
\[
= (9 — c^2 — 6c)(9 + c^2 + 6c).
\]
шаг 3. перепишем второй множитель в стандартном порядке:
\[
9 + 6c + c^2 = c^2 + 6c + 9 = (c + 3)^2.
\]
шаг 4. первый множитель \(9 — 6c — c^2 = -(c^2 + 6c — 9)\) не является полным квадратом и не раскладывается дальше над рациональными числами, поэтому оставляем его в текущем виде.
заметим, что в оригинальном решении он записан как \(9 — c^2 — 6c\), что эквивалентно.
итоговое разложение:
\[
(9 — c^2 — 6c)(3 + c)^2.
\]
г)
\[
16m^2 — (m — n)^2
\]
шаг 1. замечаем, что \(16m^2 = (4m)^2\), поэтому выражение — разность квадратов:
\[
= (4m)^2 — (m — n)^2 = \bigl(4m — (m — n)\bigr)\bigl(4m + (m — n)\bigr).
\]
шаг 2. упростим каждую скобку:
первая: \(4m — (m — n) = 4m — m + n = 3m + n\),
вторая: \(4m + (m — n) = 4m + m — n = 5m — n\).
шаг 3. окончательный результат:
\[
(3m + n)(5m — n).
\]
никаких дальнейших разложений здесь невозможно — оба множителя линейны.
ответ:
а) \((x — 1)^2(x + 1)^2\)
б) \((y^2 + 2y — 1)(y + 1)^2\)
в) \((9 — c^2 — 6c)(3 + c)^2\)
г) \((3m + n)(5m — n)\)
