ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.12 Мордкович — Подробные Ответы

Разложите многочлен на множители:

а) \( (a^2 + 2ab + b^2) — c^2 \)
б) \( 1 + m^2 — 2mn — n^2 \)
в) \( 16 — (x^2 — 2xy + y^2) \)
г) \( 4 — p^2 — 2pq — q^2 \)

a) (a² + 2ab + b²) − c² = (a + b)² − c² = (a + b − c)(a + b + c).
б) 1 − m² − 2mn − n² = 1 − (m² + 2mn + n²) =
= 1 − (m + n)² = (1 − m − n)(1 + m + n).
в) 16 − (x² − 2xy + y²) = 16 − (x − y)² = (4 − x + y)(4 + x − y).
г) 4 − p² − 2pq − q² = 4 − (p² + 2pq + q²) = 4 − (p + q)² =
= (2 − p − q)(2 + p + q).

в каждом пункте выражение содержит комбинацию трёхчлена, который можно свернуть в полный квадрат, и второго слагаемого, которое само является квадратом числа или выражения. после выделения полного квадрата получается разность квадратов, которую можно разложить на множители.

а)
дано выражение:
\[
(a^2 + 2ab + b^2) — c^2.
\]

в первых скобках — трёхчлен \(a^2 + 2ab + b^2\). это квадрат суммы:
\[
a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2.
\]

подставим:
\[
(a + b)^2 — c^2.
\]

теперь имеем разность квадратов, где \(A = a + b\), \(B = c\). применим формулу:
\[
A^2 — B^2 = (A — B)(A + B) = (a + b — c)(a + b + c).
\]

итак, полное разложение:
\[
(a^2 + 2ab + b^2) — c^2 = (a + b — c)(a + b + c).
\]

б)
дано выражение:
\[
1 — m^2 — 2mn — n^2.
\]

перегруппируем слагаемые, выделяя трёхчлен:
\[
1 — (m^2 + 2mn + n^2).
\]

внутри скобок — \(m^2 + 2mn + n^2 = (m + n)^2\). следовательно:
\[
1 — (m + n)^2.
\]

теперь это разность квадратов: \(1 = 1^2\), \((m + n)^2\) — квадрат.
применяем формулу:
\[
1^2 — (m + n)^2 = (1 — (m + n))(1 + (m + n)) = (1 — m — n)(1 + m + n).
\]

итак:
\[
1 — m^2 — 2mn — n^2 = (1 — m — n)(1 + m + n).
\]

в)
дано выражение:
\[
16 — (x^2 — 2xy + y^2).
\]

внутри скобок — \(x^2 — 2xy + y^2\), что является квадратом разности:
\[
x^2 — 2xy + y^2 = (x — y)^2.
\]

также заметим, что \(16 = 4^2\). тогда выражение принимает вид:
\[
4^2 — (x — y)^2.
\]

это разность квадратов. применим формулу:
\[
4^2 — (x — y)^2 = (4 — (x — y))(4 + (x — y)) = (4 — x + y)(4 + x — y).
\]

важно сохранить знаки при раскрытии скобок:
\[
4 — (x — y) = 4 — x + y, \quad 4 + (x — y) = 4 + x — y.
\]

итак:
\[
16 — (x^2 — 2xy + y^2) = (4 — x + y)(4 + x — y).
\]

г)
дано выражение:
\[
4 — p^2 — 2pq — q^2.
\]

перегруппируем:
\[
4 — (p^2 + 2pq + q^2).
\]

в скобках — \(p^2 + 2pq + q^2 = (p + q)^2\).
также \(4 = 2^2\). получаем:
\[
2^2 — (p + q)^2.
\]

применяем разность квадратов:
\[
(2 — (p + q))(2 + (p + q)) = (2 — p — q)(2 + p + q).
\]

итак:
\[
4 — p^2 — 2pq — q^2 = (2 — p — q)(2 + p + q).
\]

ответ:
а) \((a^2 + 2ab + b^2) — c^2 = (a + b — c)(a + b + c)\)
б) \(1 — m^2 — 2mn — n^2 = (1 — m — n)(1 + m + n)\)
в) \(16 — (x^2 — 2xy + y^2) = (4 — x + y)(4 + x — y)\)
г) \(4 — p^2 — 2pq — q^2 = (2 — p — q)(2 + p + q)\)